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一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） * * 怎样建立数学模型 石家庄经济学院数理学院 康 娜 2009年6月2日 现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。 一、 现代科技人员应具有的数学能力 * 数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用. *更重要的方面是数学的思维方式的确立. 21世纪科技人才应具备的数学素质与能力 数学运算能力 逻辑推理能力 数学建模能力 数据处理能力 空间想象能力 抽象思维能力 更新数学知识能力 使用数学软件能力 二、建模范例 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题分析 问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小 森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题分析 问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 问题分析 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形 t1 t2 0 t B B(t2) 分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt. 模型假设 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 1）0?t?t1, dB/dt 与 t成正比，系数? (火势蔓延速度） 2）t1?t?t2, ? 降为?-?x (?为队员的平均灭火速度） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 假设1）的解释 ? r B 火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比. 模型建立 b 0 t1 t t2 假设1） 目标函数——总费用 假设3）4） 假设2） 模型建立 目标函数——总费用 模型求解 求 x使 C(x)最小 结果解释 ? /? 是火势不继续蔓延的最少队员数 b 0 t1 t2 t 其中 c1,c2,c3, t1, ? ,?为已知参数 模型应用 c1,c2,c3已知, t1可估计, c1, t1, ? ? ? x? c3 ,? ? ? x ? 结果解释 c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, ?~火势蔓延速度, ?~每个队员平均灭火速度. ? ,?可设置一系列数值 由模型决定队员数量x 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 例2 选课策略 要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 课号 课名 学分 所属类别 先修课要求 1 微积分 5 数学 ? 2 线性代数 4 数学 ? 3 最优化方法 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 4 数据结构 3 数学；计算机 计算机编程 5 应用统计 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 6 计算机模拟 3 计算机；运筹学 计算机编程 7 计算机编程 2 计算机 ? 8 预测理论 2 运筹学 应用统计 9 数学实验 3 运筹学；计算机 微积分；线性代数 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？ 0-1规划模型 决策变量 目标函数 xi=1 ~选修课号i 的课程（xi=0 ~不选） 选修课程总数最少 约束条件 最少2门数学课，3门运筹学课， 2门计算机课。 课号 课名 所属类别 1 微积分 数学 2 线性代数 数学 3 最优化方法 数学；运筹学 4 数据结构 数学；计算机 5 应用统计 数学；运筹学 6 计算机模拟 计算机；运筹学 7 计算机编程 计算机 8 预测理论 运筹学 9 数学实验 运筹学；计算机 先修课程要求 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；