线段的垂直平分线（1）.ppt

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证明： 过点P作已知线段AB的垂线PC， 在Rt△PAC和Rt△PBC中 PA=PB PC=PC ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL) ∴AC=BC 即P点在AB的垂直平分线上 C B P A 证明二： 取AB的中点C，作直线PC ∵AP=BP，PC=PC，AC=CB ∴△APC≌△BPC(SSS) ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等) 又∵∠PCA+∠PCB=180° ∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上 C B P A 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． C B P A 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证明三： 过P点作∠APB的角平分线 交AB于点C ∵AP=BP ∠APC=∠BPC PC=PC ∴△APC≌△BPC(SAS) ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180° ∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上 C B P A 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证明四： 过点P作已知线段AB的垂线PC， ∴PC是△PAB的高 ∵PA=PB ∴△PAB是等腰三角形 ∵PC是△PAB的高 ∴PC是△PAB的中线 ∴AC=BC ∴直线PC是线段AB的垂直平分线 ∴P在AB的垂直平分线上 线段垂直平分线的判定定理 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 判定定理的符号语言： ∵PA=PB(已知), ∴点P在线段AB的垂直平分线上 北师大版教材 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 一题多解 证明四： 过点P作已知线段AB的垂线PC， ∴PC是△PAB的高 ∵PA=PB ∴△PAB是等腰三角形 ∵PC是△PAB的高 ∴PC是△PAB的中线 ∴AC=BC ∴直线PC是线段AB的垂直平分线 ∴P在AB的垂直平分线上 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 一题多解 证明四： 过点P作已知线段AB的垂线PC， ∴PC是△PAB的高 ∵PA=PB ∴△PAB是等腰三角形 ∵PC是△PAB的高 ∴PC是△PAB的中线 ∴AC=BC ∴直线PC是线段AB的垂直平分线 ∴P在AB的垂直平分线上 例题引路： 已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵ AB = AC ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 同理， 点 O 在线段 BC 的垂直平分线上 ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线） 例题引路： 已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵ AB = AC ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 同理， 点 O 在线段 BC 的垂直平分线上 ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线） 例题引路： 已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵ AB = AC ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 同理， 点 O 在线段 BC 的垂直平分线上 ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线） * 1.3 线段的垂直平分线（1） 北师大版八