群的定義.doc

第 5 讲 第二章 群 论 §1 群的定义 （2课时） 本讲教学目的和要求：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是 近世代数的基础。变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。 在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。 本讲的重点和难点：由于本讲知识群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意： 半群，幺半群和群的关系. 本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路. 群的阶和群中元素的阶. 本讲的教法和教具：使用多媒体教室中的教学设备，并鼓励学生参与教学活动。 说明：本章教学活动中群的代数运算“”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群） 半群 定义1. 设为任一非空集合，上定义了一个能封闭的代数运算“”，如果 “”满足结合律，即，那么代数体系叫做是一个半群. 注：（1）乘法“”的表达形式上，以后都用“”来替代“”. （2）在不发生混淆的前提下，半群可简记为. 定义2. 设是一个半群，那么 如果乘法“”满足交换律，则称为可换半群. 如果是有限集，则称为有限半群. 例1、都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。（但不是有限半群） 同理：， 都是可换半群。 例2． 取为任一数域，为上一切阶方阵组成的集合。若“+”和“·”均为通常矩阵的加法和乘法，那么和均为半群，但为可换半群，而当时，不是可换半群。 若表示一切非零矩阵（阶）组成的集合，那么和 都不是半群了（为什么？） 例3、设，而的全部子集构成的集合，通常叫做的幂集。那么及都是有限可换半群。 二、（幺半群） 定义3、设是一个代数体系，如果中存在一个特殊的元素，具有性质：都有，那么称为的关于“”的单位元（恒等元）。 结论1：若中有单位元，那么单位元一定是唯一的. 证明：设都是的单位元，. 定义4：设是一个半群，如果中含有单位元，那么称为monoid，通常写为. 例4 在例1中，关于“+”都是monoid，因为有单位元0；而关于“·”也是monoid，因为1是单位元。 在例2中，的单位元是0（零矩阵），而的单位元为（单位矩阵）. 在例3中，的单位元是，的单位元是. 思考题：能否举出一个是半群但不是monoid的例子？ 三、群 定义5：设是一个monoid，如果对，满足： ，那么称是的逆元（正则元）。 结论2：若在monoid中有逆元，那这个逆元是唯一的，所以，可以将的逆元同意记为. 证明：设都是的逆元，那么，于是 . 定义6：（群的定义）设是一个monoid，如果中每个元素都有逆元，则称是一个群。 说的更具体一点：对“”来说是一个群应满足下列四条： “”在中是封闭的（即 “”是代数运算） “”满足结合律 (即是半群) 中有单位元，（即是monoid） 中每个元都有逆元（即是群） 课堂训练：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是群？为什么？ 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 解：1是群. 因为有单位元0（即0），而的逆元为， 因为. （譬如3的逆元为-3，…）同理3,6,9,14,16都是群. 2不是群. 因为有单位元1，而，0不可能有逆元（） 同理4，7，10，15，17也不是群，而13中虽然无零，但除了1外，中其它元都没有逆元，所以13也不是群。 18不是群，因为若且时，不可逆没有逆元. 19不是群，因为除了外，其它元都没有逆元. 20不是群，因为除了外，其它元都没有逆元. 注意：在群中，通常称“”为乘法，因而称群为乘法群。但有时我们会遇到用“加法”做成的群，例如什么的1，3，6，9，16.这时，我们称这类群为加法群。为此，这些群中的单位元习惯上称为零元，并统记为0，每个元的逆元习惯上叫做负元，统记为，（而不用）（譬如群中的零元为0，3的负元为-3） 不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“”并不是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词汇而已。同理加法群中的相加，并非一定是数的相加，更多的表示“抽象加法”的含义。 一种