【2017年整理】离散数学环与域.ppt

*;*;*;§6.1 定义及基本性质 (1) ;*;*;*;*;*;*;*;*;§6.1 定义及基本性质 (4) ;*;*;*;*;*;（1）封闭，{a}+{a,b}={b} , … 可结合， ({a}+{a,b})+{c}={a}+({a,b}+{c}) , … 可交换, {a}+{a,b}={a,b}+{a} , … 单位元， ? 逆元，{a}+{a}= ?,{a}自身为逆元, … P(s), +是abel群 （2） P(s),?是半群， ?可结合 ({a} ? {a,b}) ?{a,b,c}={a} ?({a,b} ?{a,b,c}) (3)?对+可分配 {a} ?({b}+{a,b})={a} ?{b}+{a} ?{a,b};例3：证明任一环的同态象也是一环。;;*;§6.1 定义及基本性质 (6) ;*;例3：全体整数按普通加法和普通乘法构成有单位元的环。全体偶数按普通加法和普通乘法构成环，但无单位元。 摸m的全体剩余类构成什么环？ ;设A为有１的环，a∈A，如果a在〈A，· 〉中有逆元，则称a为A中的可逆元．并把a在半群〈A，· 〉中的逆元，称为a在环A中的逆元，用a -1表示． 有１的环A中所有可逆元在乘法运算下构成一个群（？），该群记为A*，并称为环A的乘法群. ;*;§6.2 整环、除环和域 (2) ;*;*;*;*;*;*;*;*;例4：s是集合，P(s)是幂集，在P(s)上定义二元运算?和*，则 P(s),+，? 不是整环。 ;*;例6：设 A1,★,* ,A2,★,*都是环，A1?A2 是环的直积定义为：A1?A2 ={a,b|a?A1,b?A2}。 在 A1?A2 上定义运算 ? 和 ? 如下： 对任意的a1,b1,a2,b2? A1?A2，则 a1,b1 ? a2,b2 =a1★a2,b1★b2 a1,b1 ? a2,b2 =a1 * a2, b1 * b2;*;*;*;*;*;*;;又因为对[0]是关于 的幺元；对任意的 ， 是其逆元。;*;*;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;解：域：A,+是Abel群， A-{e},*也是Abel群 (1)A={x|x?0,x ?Z} 没有加法逆元，所以不是域;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;整环;§6.2 整环、除环和域 ;域一定是整环，但整环不一定是域。 ;*;*;*;*;*;*;*;*;*;*;定理４　若域F的特征为素数p，则F中必存在与Zp同构的子域 Zp． 证明　设e是F的单位元，令Zp＝｛ie｜i∈Z｝ 因为e的加??周期为p，故 Zp={0，e，2e，…，(p-1)e} 构造Zp到Zp的映射 ?：[i]|→ ie,[i]∈Zp 可以验证 ? 是Zp到Zp的双射.下证 ? 保持运算． 　　 ?（[i]＋p[j]）＝ ?（[i＋j]）＝（i＋j）e　　 ＝（ie）＋（je）＝?([i]）＋?（[j]） 　?（[i]×p[j]）＝ ?（[ij]）＝（ij）e ＝（ie）·（je）＝ ?（[i]）·?（[j]） 由此便知 ? 是Zp到Zp的同构，即 ?：Zp ? Zp. 由于Zp是域，与之同构的Z‘p必为域，从而是F的子域;*;*;*;*;*;*