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第四章 弯曲应力 §4.1 弯曲的概念及计算简图 例题4-6 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图. 2.合理地设置支座位置 例题4-14 图示一外伸梁，a = 425mm , F1、 F2 、 F3 分别为 685 kN,575 kN,506 kN.试按叠加原理作此梁的弯矩图,求梁的最大弯矩. B C F2 F3 a D E F1 A a a a 解：将梁上荷载分开 F1 291 a c e b d F2 e 122 + a c b d 215 a c e b d F3 a a a a B C F2 F3 a D E F1 A a a a 122 + a c e b d 291 215 131 a c e b d 291 a c e b d 145.5 215 a c e b d 107.5 m m Q M Ⅰ、弯曲构件横截面上的应力 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力Q. §4-3 梁横截面上的正应力 m m Q ? m m M ? 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = ? dA 才能合成弯矩. 弯矩M 正应力σ 剪力Q 切应力τ 内力 只有与切应力有关的切向内力元素 dQ = ? dA 才能合成剪力； 所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力. Ⅱ、分析方法 平面弯曲时横截面 纯弯曲梁的正应力(横截面上只有M而无Q的情况) 平面弯曲时横截面 横力弯曲正应力(横截面上既有Q又有M的情况) s s t 简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲. 若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲. Ⅲ、纯弯曲 + + F F + Fa F F a a C D A B 变形几何关系 物理关系 静力关系 观察变形， 提出假设 变形的分布规律 应力的分布规律 建立公式 一、 纯弯曲时的正应力 Ⅰ、实验 1.变形现象 纵向线 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长. 相对转过了一个角度， 仍与变形后的纵向弧线垂直. 各横向线仍保持为直线， 各纵向线段弯成弧线， 横向线 2.提出假设 （a）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压. 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层 中性轴 横截面对称轴 中性轴 横截面对称轴 ⊥ 中性层 dx 图（b） y z x O 应变分布规律： 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比. Ⅱ、变形几何关系 y b b O O 图（c） y ρ z y x O’ O’ b’ b’ 图（a） dx Ⅲ、物理关系 所以 胡克定律： M y z O x 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比. 应力分布规律： ? 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ ? ? y z x O M dA z y σdA Ⅳ、静力关系 横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量. FN Mz My 内力与外力相平衡可得 （1） （2） （3） 将应力表达式代入（1）式，得 将应力表达式代入(3)式，得 中性轴通过横截面形心 将 代入 得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩. 讨论 （1）应用公式时，一般将 M、y 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接判断 ? 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(? 为正号).凹入边的应力为压应力（? 为负号）； （2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处. 则公式改写为 引用记号 ——弯曲截面系数 圆截面 矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面 （a）对于中性轴是对称轴的横截面 其横截面最大拉压应力相等，发生在离中性轴最远处，截面的 IZ 和 WZ由下列公式计算 Iz和W的求法： z y M 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和 直接代入公式 （b）对于中性轴不是对称轴的横截面 当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲. 二、 横力弯曲时的正应力