七,次方程的笛卡儿做图八.pdf

2002年 12月 西 北大 学学报 (自然科 学版 ) Dec．2002 第 32卷第 6期 JournalofNorthwestUniversity(NaturalScienceEdition) Vo1．32No．6 七 、八次方程的笛卡儿做 图 程 小红 ，王 瑾 (1．西北 大学 数学 系 ，陕西 西安 710069；2．沈 阳师范大学 数 学系 ，辽 宁 沈 阳 110034) 摘要 ：利用计算机 首次给 出了八次方程笛卡儿做 图的一个案例 ，并据此对笛卡儿方程做 图方法 中代 数 的作用及其算法 实质进行 了分析 。 关 键 词 ：做 图；七 、八次方程 ；笛卡儿；数学史 中图分类 号 ：ol1 文献标识码 ：A 文章编号 ：1000—274x(2002)06—0617-05 笛卡儿 的 《几何学 》作为 《方法论 》的附录之一发 题都给出 了标 准的做 图程序 。 表于 1637年 。在 《几何学 》中，笛卡儿给 出了一 至六 笛卡儿不仅将 几何 问题代数化 ，而且也把做 图 次方程 的标准做 图程序 ，对此 已有学者作 了详细 的 工具加 以代数化。几何 问题转化为代数方程后 ，并不 分 析 ¨j。解决 了低于六 次方程的做 图问题后 ，笛卡儿 是要 给出这些 问题 的数值 解或 者根 式解 ，而是 要用 指 出 ，他 的方法 具有 一般性 ，可 适用 于任 意次方程 。 做 图曲线描绘 出方程的根所对应 的线段 。对 于一 、二 那 么笛卡儿 的方法 能否推至七 、八次方程 呢?笔者至 次方程很容 易做到 ，只需要利用圆和直线相交 ，那么 今似 未见到这方 面的研究文献 。本文通过具体 实例 交点 到一条 坐标轴 的距离就 为方程 的根 。对 于三 、四 来探讨 这个 问题 。 次方程 ．也可利用 圆和圆锥 曲线 相交描绘 出来 ，实际 上在 古希腊 已存在这种做法 ，而对 于更高次 的方程 l 笛卡儿方程做 图的代数化和算法化 做 图问题 ，已有 的几何 曲线 显然 已不够用 。为此 ，需 倾 向 要引入新 的曲线 ，那么 笛卡 儿是依 据什 么样 的标准 引入 几何 曲线 呢?对 此 问题 西方 学 者 已有很 多研 笛 卡儿 《几何学 》的宏伟 目标是 创造一 种方 法 ， 究_3]。笔者认 为 ，对于笛 卡儿来说 ，几何 曲线是 那些 以便用来解 决所 有 的几何 问题 ，给出这 些 问题所谓 能够 由一条或 几条 曲线经 连续 运动 描绘 出来 的，这 的一般方法 。我们 知道 ，在 古希腊 ，几何做 图和几何 种运动不一定是实 际可操作 的，但必须 能在思维 中 证 明一样 ，并 没有一般 的规律可循 。笛卡儿之所 以能 很清晰地想像 出来 。同时 ，通过这种方式 生成 的曲线 给 出几何做 图的一个 标 准程序 ，完 全在 于他 引入 了 一 定能得 到表征它 的代数方程 ，而对 于那些没有代 一 种全新 的思想—— 几何做 图的代数化 ，即利用代 数方程 的曲线 根本不在笛卡儿考虑 的范围之 内。这 数方 法来解决几何 做 图问题 。 也就是说 ，代数方程是决定几何 曲线 的一个重要关 首先 ，笛 卡儿在 几何 量 中引入代 数运 算 和建立 卡 。事实 上 ，曲线需要 有生成过程 只是笛 卡儿心理上 坐标系 ，从而把几何 问题转化为代数方程 。并且 ，按 的作用 ，而在做 图中发挥 实质性作用 的却是 曲线 的 照方 程的次数把几何 问题加 以分类 ，一 、二次方程归