第七章 柱形杆问题.ppt

第七章柱形杆问题 § 7-1 圣维南问题 § 7-2 柱形杆扭转问题的基本解法 § 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例 § 7-4 薄膜比拟 § 7-5 柱形杆的一般弯曲 第七章柱形杆问题 圣维南于1855年和1856年先后解决了柱体的扭转和弯曲问题。米歇尔（J. H. Michel）于1901年和1905年分别解决了几种分布载荷下的弯曲问题和变截面柱体的扭转问题。普朗特（L. Prandtl）于1903年和铁木辛柯（S. P. Timoshenko）于1913年引进应力函数法分别解决了以应力函数为未知量的扭转和弯曲问题。其方法是半逆解法，或称圣维南半凑合解法。 Mises 应力图 应力最大的地方在各个横截面边界的中心处。 § 7-3 反逆法与半逆法，扭转问题解例 描述不同物理现象的物理量之间存在着一一对应的比拟关系。例如，关于扭转问题有薄膜比拟，电场比拟和流体动力学比拟等。 考虑周边固定，内部有预张力S的薄膜在横向均匀压力q作用下的小变形情况。如图9所示。切出四边受均匀张力的薄膜微元 ，其z向平衡方程为 § 7-4 薄膜比拟 图 9 其中 和 为变形后的薄膜在x和y方向上的曲率，z为薄膜挠度。代入上式得 周边固定条件为 （51） （52） § 7-4 薄膜比拟 和方程 及边界条件 相比，可知应力 函数 和薄膜挠度z之间存在比拟关系。注意到方程右端的 对应于 ，引进如下比拟关系 两者就化为同一个数学问题。 （53） § 7-4 薄膜比拟 对于多连通域， 在孔边上应为常数。所以在薄膜比拟试验中，开孔区应用平行于 平面的无重刚性平板来 代替。 下面要用到普朗特应力函数 的两个重要性质： 性质1 ——截面内任意点处的总剪应力 指向该点处应 力函数等值线的切线方向，其大小等于 的负梯度，即 沿内法线方向的导数值。 § 7-4 薄膜比拟 证 设 为 的等值线。在任意点P处，外法 向和切向的单位向量为 和 。由图10可知，它们 的方向余弦为 （54） § 7-4 薄膜比拟 图 10 利用应力转轴公式得 （55） 图 10 § 7-4 薄膜比拟 在等值线上有 ，所以第一式给出 ，即总 剪应力，沿等值线的切线方向。而第二式给出： 可见 等于 的负梯度，即 沿内法线方向的导数值。 由于 沿 的切线方向，所以 的等值线又称剪应力迹线。 （56） § 7-4 薄膜比拟 由 可知，边界线都是剪应力迹线。在薄膜比拟试验中，剪应力迹线相应于膜的等高线。由（53）和（56）式可得 ——膜高在内法线方向上的导数值。 （56a） § 7-4 薄膜比拟 性质2 ——在应力函数 的闭合等值线上，剪应力环量和等值线所包围的面积成正比。 证 剪应力 沿其迹线 的回路积分值称为剪应力环量。利用式（56）、（55），（23）和格林公式，可导出剪应力环量计算公式 ——为剪应力迹线 所包围的面积 （57） § 7-4 薄膜比拟 图11说明，这是用等高线割出的上部薄膜的z向平衡方程。 图 11 在薄膜比拟中，把（56a）式代入(57)式左端得 § 7-4 薄膜比拟 例1 狭长矩形杆 如图12（a），试验表明，除 两端外，内压下的薄膜挠度z和坐标x无关，见图12（b）。根据 与z的正比关系（53），可设 。 图 12 § 7-4 薄膜比拟 （a） 代入基本方程 ，利用如下对称条件和 边界条件 （58） （59） § 7-4 薄膜比拟 代入（26），（16），（56）式得： （60） （61） （62） （26） （16） （56） § 7-4 薄膜比拟 可见剪应力沿 y 线性分布，最大值发生边界 处，其值为 由（62）式的 所产生的扭矩为 它仅是 的一半。另一半扭矩由两端 附近的 剪应力 提供。 （63） § 7-4 薄膜比拟 例2