北师大版九年级上证明2知识点及经典例题讲解和练习带答案.doc

一、知识的回顾 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） （3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 复习题 1．一个等腰三角形底边的长为5， ，则腰长为 （ ） 2．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（ ） （A） 30° （B） 36° （C） 45° （D） 54° 3 、已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP＝2PQ. 4、等边三角形ABC中，D是三角形内一点，DA = DB，BE = AB，∠CBD = ∠EBD，求∠E的度数； 5、已知，如图，⊿ABC中，∠A = 90，AB =AC，D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE = AF，求证：ED⊥FD 典例精讲 1、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，是的中点，点在上，且． 求证：. 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明． 2、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形，可以说明：≌，从而得到结论：．现要求： （1）将绕点按逆时针方向旋转180°，使点落在上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所得到的图形中，结论“”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）在（1）所得到的图形中，设的延长线与相交于点，请你判断△ABD与四边形的形状，并说明你的结论的正确性． 解析;（2）结论“AN=BM”还成立. 证明：∵ CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，∴ △ACN≌△MCB.∴ AN=BM. （3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形. 证明： ∵ ∠DAB =∠MAC=60°，∠DBA=60° ∴ ∠ADB=60°.∴ △ABD是等边三角形. ∵ ∠ADB =∠AMC=60°，∴ ND∥CM. ∵ ∠ADB =∠BNC=60°，∴ MD∥CN. ∴ 四边