2008高考数学复习 多面体与旋转体部分知识梳理及重要题型.doc

2008高考数学复习 多面体与旋转体部分知识梳理及重要题型 目的要求： 对本章简单几何体知识进行梳理和总结，突出知识间的联系，提高学生综合运用知识的能力和逻辑思维能力. 内容分析： 1、这部分主要涉及棱柱、棱锥、多面体和球的知识.其内容大致可分为定义、分类、性质、面积和体积几个方面.除此之外还有简单多面体的欧拉公式、球面上两点间的球面距离等重要概念、定理，这些知识牵涉的面很广，但并不十分复杂，有些内容可用类比法进行复习.然而复习中一定要弄清楚，不可混淆. 2、如果说前节课所复习的知识还是一些立体图形的元件的话，那么本课所复习的内容就是几何体了.应当说，这节课的空间观念更综合、更形象了.复习中也应该重视画图、识图（包括图形的综合和分解）.只有做到这一点，学生才会把图形在头脑中“立体化”.复习中这个任务依然应予以重视. 3、球的体积和表面积计算公式所涉及的重要数学思想方法是数学教学的重要内容，但教学目标仅为了解，而且新授不久，因此，在这次复习中不是重点，复习的重点是各种几何体的基本性质. 4、与前节课一样，本课作为复习课，应有针对性，所以重点、难点的确定和内容的调整应根据学生学习中掌握的情况而定. 教学过程： 1、内容小结 （1）针对简单几何体的知识内容，教师预先拟订提纲，让学生课前按提纲进行复习.提纲可按教科书的学习要求和需要注意的问题中学习要求拟定. （2）课堂复习中，让学生比较棱柱、棱锥、球三种几何体的形状、表面、截面、面积、体积，比较前两种几何体的分类、直观图的画法. （3）让学生填写下表 F V E 过顶点的棱数 各面的边数 面的特征 正四面体 4 4 6 3 4 正三角形 正六面体 6 8 12 3 4 正方形 正八面体 8 6 12 4 3 正三角形 正十二面体 12 20 30 3 5 正五边形 正二十面体 20 12 30 5 3 正三角形 2、应用举例 例题1　如图8－3，三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P—AC—B为120°，PC=2，AB=2。 （1）求证：AC⊥BD； （2）求BD与底面ABC所成的角（用反正弦表示）； （3）求三棱锥P—ABC的体积。 解 （1）如图8－4，取AC中点E，连DE、BE，则DE∥PC， ∵PC⊥AC，∴DE⊥AC。 ∵△ABC是正三角形，∴BE⊥AC。 又DE平面DEB，BE平面DEB，DE∩BE=E，∴AC⊥平面DEB。 ∵DB平面DEB，∴AC⊥DB。 （2）法一：∵AC⊥平面DEB，AC底面ABC，∴平面DEB⊥底面ABC，∴EB是DB在底面ABC内的射影，∠DBE是BD与底面ABC所成的角。 又∵DE⊥AC，BE⊥AC，∴∠DEB即为二面角P—AC—B的平面角。 在△DEB中，∵DE=PC=1，BE=AB=3， ∴由余弦定理，得 BD2=12+32 – 2×1×3cos120°=13，BD=， ∴由正弦定理，得=， 解得sin∠DBE=，即BD与底面ABC所成的角为arcsin。 法二：∵AC⊥平面DEB，AC平面ABC。∴平面DEB⊥平面ABC，作DF⊥平面ABC，F为垂足，则F在BE的延长线上，∠DBF是BD与平面ABC所成的角。∵DE⊥AC，BE⊥AC，∴∠DEB是二面角P—AC—B的平面角。在Rt△DBF中，DE=PC=1，BE=AB=3， ∠DEB=120°，∠DEF=60°，DF=。 ∴在△DEB中，由余弦定理得BD=， ∴sin∠DBF==，故BD与底面ABC所成的角为arcsin。 （3）∵AC⊥平面DEB，AC平面PAC， ∴平面DEB⊥平面PAC，∴过点B作平面PAC的垂线段BG， 垂足G在DE的延长线上。 ∵在Rt△BEG中，∠BEG=60°，BE=3，∴BG=， ∴VP—ABC=VB—PAC=S△PAC×BG=××=3。 例题2　如图8－5，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，　　　 PA、BC的公垂线DE=h，求三棱锥P—ABC的体积。 分析：思路一直接求三棱锥P—ABC的体积比较困难。考虑到DE　　 是棱PA和BC的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P—　　 EBC和A—EBC，利用PA⊥截面EBC，且△EBC的面积易 求，从而体积可求。 解 如图8—5—1，连结BE，CE。∵DE是PA、BC的公垂线，∴PA⊥DE。又PA⊥BC，∴PA⊥截面EBC。∴VP—EBC=S△EBC·PE，VA—EBC=S△EBC·AE。∵DE⊥BC， ∴S△EBC=BC·DE=lh,∴VP—ABC=VP—EBC+VA—EBC=S△EBC·（PE+AE） =PA·S△EBC=l2h。 注 本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的