第3章位姿描述和齐次变换.ppt

第三章 位姿描述和齐次变换 ;3.列矩阵;（2）矩阵与数相乘：该数与矩阵各元素相乘。; （3）矩阵与矩阵相乘：;7. 矩阵的逆（逆矩阵）;9. 正交矩阵：如果 ，则A为正交矩阵。它满足：; （b）左手坐标系;其中θ是a和b两矢量间的夹角，如图所示。;四、矢量的叉积（矢量积或叉乘积）;a和b的点乘为：;3.2 位姿描述与坐标变换;a) 位置的描述;b) 姿态（方位）的描述;3.2.2 坐标变换;二、坐标旋转; 利用点乘的性质和上式共同求解得;上式简写为：?; 旋转矩阵的几何意义：旋转矩阵在几何上表示了发生相互旋转的两坐标系各主轴之间的相互方位关系。;因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和z轴转θ角的旋转矩阵：;例3.1 若从基坐标系 ({B})到手爪坐标系 ({E})的旋转变换矩阵为 。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系；（3）求a，b，c的值。;三、一般变换;例3.2 已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先{B}相对{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动10个单位，并沿{A}的yA轴移动5个单位。求位置矢量 和旋转矩阵 。若 ,求 。;所以有：;3.3 齐次坐标与齐次变换;3.3.1 齐次坐标; 齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量 ( ）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向数。;在机器人研究中，齐次变换矩阵T为：; 纯旋转的齐次变换矩阵中P3×1为零矩阵，即 ，因此写出绕x，y和z轴旋转θ角的基本齐次变换矩阵为：;从而定义复合变换 。;例3.4 已知 ，画出{A}和{B}的相互位姿关系图。;3.4 齐次变换的性质;RPY角反解：; 2、绕动坐标系依次进行的齐次变换，按“从左向右”的原则依次相乘(左乘）。;相对于固定坐标系运动;;所以得;三.变换过程的封闭性;例 3.5 如图所示，从{0}系到{3}系依次经过{1}系和{2}系的变换,①用两种方法求 和 ，第一种根据齐次变换矩阵的几何意义求解，另一种采用坐标系依次变换的方法；②求 （用两种方法）； ③画出{0}到{3}的空间尺寸链图。 ;空间尺寸链图：;3.5 旋转变换通式;因此;把上式右端相乘，并利用旋转矩阵的正交性质;二. 等效转轴与等效转角;将方程两边的主对角线元素分别相加，得;于是：;Class is over.Bye-Bye!