第2讲-概率论基础知识及应用.ppt

2012年全国大学生数学建模竞赛·暑期培训;内容提要; 序言;（1）试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个； （2）每次试验前不能确定将会出现哪一结果，但其所有的可能结果可预知.; 随机事件及相关概念;【举例】;一、概率论基础知识概述;一、概率论基础知识概述;;例如： 新产品上市后有多大可能性会畅销和滞销； 购买彩票中奖的可能性； 项目投资后赢利或亏损的可能性等等；; 对于随机事件 A，在一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在 相同条件下重复试验的次数充分大以后，可以发现事件 A 发生的次数 nA 与试验次数 n 之比将在某个确定的值附近波动。; 人们发现，随着重复试验次数的增多，事件 A 发生的频率 fn(A) 就逐渐稳定地趋近于某个常数 P(A) 附近，这一客观存在的常数 P(A) 就称为事件 A 的概率。; 主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结果的概率 只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率。; 古典概率;【例4】在100件产品中有5件是次品，从中任取10件，求以下事件的概率： ⑴ A = {全为正品} ⑵ B = {恰有1件次品} ⑶ C = {至少有3件次品} ⑷ D = {至少有1件次品}; 条件概率与乘法公式; 全概率公式; 贝叶斯公式;【例6】某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为1/2， 而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4。考试结束后发现他答对了， 那么他知道正确答案的概率是多大呢？ ;【例7】伊索寓言故事—”狼来了“。一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他大喊：狼来了，结果山下的村民都上山打狼，结果狼没来；第二天，仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊，没人来救他。为什么？;内容提要; 任何随机试验的试验结果，都可以定量化并用随机变量表示。;设 X 是一随机变量，x 是任意实数，称函数 F(x) = P{X≤x } 为 X 的分布函数。;【如】几个离散型变量的例;; 常见的离散型分布;;;; 连续型随机变量; 对连续型随机变量X，如果存在非负可积函数 ?(x)，使得对任意实数 x，有; 正态分布;【标准正态分布】;【一般正态的标准化】;内容提要;【引例】“赌博问题” 法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。?巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金 100元,共200元，并 约定谁先赢满5局，谁取得全部 200 元，由于出现 意外情况，A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去 了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？?; 数学期望;【再解 “赌博问题 】 法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。?巴斯卡 尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金 100元,共200元，并 约定谁先赢满5局，谁取得全部 200 元，由于出现 意外情况，A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去 了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？?;【案例1】“保险收益问题” 据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0. 98, 因事故死亡概率 0.02. 保险公司开办老事故死亡保险, 投保者需交纳保险费100元.若10年 内因事故死亡公司赔偿a 元。 （1）应如何定 a , 才能使公司可期望获益; （2）若1000人投保, 公司期望总获益多少?;【案例2】“验血方案的选择” 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方案有如下两种： （1）逐一化验每个人的血， 共需化验 n 次； （2）分组化验，k 个人的血混在一起化验, 若结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则对 k 个人的血逐个化验， 找出有病者, 此时k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p， 且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.;解：; 方差;内容提要;【案例1：彩票中的数学】（2002年CUMCM B题）;二、概率论知识应用;一、概率论知识应用;二、概率论知识应用;二、概率论知识应用;二、概率论知识应用;2.1 彩票中的数学;按照上述公式，可以求得高项奖平均每注奖金额为;对各种彩票设置方案，都可以用上述方法求出各项奖的 中奖概率和奖金额，在此基础上，便可进一步考虑彩票 设置方案的合理性，对彩民的吸引力，设计出“更好” 的方案来。;内容提要;2.2 指纹是唯一的吗？;1、任意选出两个人，他们的指纹相同的概率;2.2 指纹是唯一的吗？;2、在世界上曾经生活过的个人