第六章点的运动与刚体的基本运动.doc

点的运动与刚体的基本运动 [习题6-1] 已知如图6-32所示，跨过滑轮C的绳子一端挂有重物B,另一端A被人拉着沿水平方向运动，其速度为，A点到地面的距离保持常量。滑轮离地面的高度，其半径忽略不计。当运动开始时,重物在地面上处，绳AC段在铅直位置处。求重物B上升的运动方程和速度方程，以及重物B到达滑轮处所需的时间。 解：从图中可知，绳子的原长约为16m。在任一瞬时， 绳子的长度为：.即: B点的y坐标,即重物B上升的运动方程为: 重物B上升的速度方程为： 重物到达滑轮时，所走过的路程为8m，即： ，解得: [习题6-2] 半圆形凸轮以匀速沿水平方向向左运动，活塞杆AB长沿铅直方向运动。当运动开始时，活塞杆A端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径，求活塞B的运动方程和速度方程. 解：活塞杆AB作竖向平动。以凸轮圆心为坐标原点，铅垂向上方向为轴的正向，则由图中的几何关系可知，任一时刻，B点的坐标，即活塞B的运动方程为: 活塞B的速度方程为: [习题6-3] 已知杆与铅直线夹角(以rad计，以计)，小环套在杆OA，CD上，如图所示。铰O至水平杆CD的距离。求小环的速度方程与加速度方程，并求时小环的速度及加速度。 解：以OA铅垂时小环的位置为坐标原点，水平向右方向为x轴的正向。任一瞬时，的坐标，即运动方程为： 小环的速度方程为： 小环加速度方程为: [习题6-4] 点以匀速率在直管OA内运动，直管OA又按规律绕O转动。当时，在O点，求其在任一瞬时的速度及加速度的大小。 解: ，。 设任一瞬时，点的坐标为，则点的运动方程为： , 速度方程为： 任一瞬时,速度的大小为: 加速度方程为: 任一瞬时,速度的大小为: [习题6-5] 一圆板在Oxy平面内运动。已知圆板中心C的运动方程为， (其中以m计， 以计)。板上一点M与C的距离，直线段CM与x轴的夹角(以rad计， 以计)，试求时M点的速度及加速度。 解： 设M点的坐标为M(x,y)，则M点的坐标,即运动方程为： 速度方程： 时M点的速度为: () 加速度方程: 时M点的加速度为: [习题6-6] 一点作平面曲线运动，其速度方程为，，其中以计，t以s计。已知在初瞬时该点在坐标原点，求该点的运动方程和轨迹方程。 解： （１）求运动方程 　　　 　　　 　　　 　　　由边界条件，代入上式得：，故 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　由边界条件，代入上式得： 　　　 　　　，故 　　　，因此，该动点的运动方程为： 　　　；。 （２）求动点的轨迹 　　　由得代入得： 　　　，这就是动点的轨迹方程。 [习题6-7] 一动点之加速度在直角坐标轴上的投影为：，。已知当时，，，，（长度以计，时间以计），试求其运动方程和轨迹方程。 解： （１）求运动方程 　　　 　　　 　　　 　　　把当时，的边界条件代入上式得：，故 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　把当时，的边界条件代入上式得：，，故 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　把当时，的边界条件代入上式得：，故 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　把当时，的边界条件代入上式得：，故 　　　。因此，该动点的运动方程为： 　　　；。 （２）求动点的轨迹方程 　　　由得：……(a) 由得：……(b) (a)+(b)得： 　　　　这就是动点的轨迹方程。 [习题6-8] 点沿曲线ＡＯＢ动动。曲线由ＡＯ、ＯＢ两段圆弧组成，ＡＯ段曲率半径，ＯＢ段曲率半径，取圆弧交接处Ｏ为原点，规定正方向如图所示。已知点的运动方程：，以计，以计。求：（１）点由至 所经过的路程；（２）时的加速度。 解：（１）求点由至所经过的路程 令得；当时，动点改变运动方向。 点由至所经过的路程 点由至所经过的路程 点由至所经过的路程 （２）求时的加速度 [习题6-9]　摇杆滑道机构如图6-38所示，滑块Ｍ同时在固定圆弧槽中和在摇杆的滑道中滑动。BC弧的半径为，摇杆OA的转轴在BC弧所在的圆周上。摇杆绕O轴以匀角速转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法求滑块的运动方程，并求其速度及加速度。 解:(1) 直角坐标法 设滑块Ｍ的坐标为，则动点Ｍ的运动方程为：  （2）自然坐标法 建立如图所示的自然坐标。Ｍ点的运动方程（即弧坐标）为： ２ [习题6-10] 已知一点的加速度方程为，，当时，，，，求点的运动轨迹，并用简捷的方法求时点所在处轨迹的曲率半径。 解：（１）求运动轨迹方程 把时，代入上式得：。故 把时，代入上式得：。故 (把时，) 把时，代入上式得：