4.2 2007天津数学（理）.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上， 并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： ·如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ·如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 一.选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是虚数单位( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】，故选C. 2. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 ( ) A.4 B.11 C.12 D.14 【答案】B 【分析】易判断公共区域为三角形区域，求三个顶点坐标为、、， 将代入得到最大值为故选B. 3. 是的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】可知充分， 当时可知不必要.故选A. 4. 设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由可得故选D. 5. 函数的反函数是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】原函数过，故反函数过，从而排除A、B、D，故选C. 6. 设为两条直线，为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 ( ) A.若与所成的角相等，则 B.若，则 C.若则 D.若则 【答案】D 【分析】对于A当与均成时就不一定；对于B只需找个，且 即可满足题设但不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选D. 7. 在R上定义的函数是偶函数，且. 若在区间上是减函数，则( ) A.在区间上是增函数，在区间上是增函数 B.在区间上是增函数，在区间上是减函数 C.在区间上是减函数，在区间上是增函数 D.在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【分析】由可知图象关于对称，又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B. 8. 设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项，则( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【分析】是与的等比中项可得(*)，由为等差数列可得及代入(*)式可得.故选B. 9. 设均为正数，且则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由可知，由可知，由可知，从而.故选A. 10. 设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由可得，设代入方程组可得 消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得 因而解得.故选A. 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. 11. 若的二项展开式中的系数为则.(用数字作答) 【答案】2 【分析】，当时得到项的系数. 12. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为， 则此球的表面积为. 【答案】 【分析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即， 由. 13. 设等差数列的公差是2，前项的和为则. 【答案】3 【分析】根据题意知 代入极限式得. 14. 已知两圆和相交于两点， 则直线的方程是. 【答案】 【分析】两圆方程作差得 15. 如图，在中，是边上一点， 则. 【答案】 【分析】由余弦定理得 可得， 又夹角大小为，， 所以. 【解析】根据向量的加减法法则有: ,此时 . 16. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种 (用数字作答). 【答案】 【分析】 用2色涂格子有种方法，用3色涂格子有 种方法，故总共有种方法. 三.解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知函数R. (I)求函数的最小正周期； (II)求函数在区间上的最小值和最大值. 【分析】. 因此，函数的最小正周期为. (II)解法一：因为在区间上为增函数， 在区间上为减函数， 又 故函数在区间上的最大值为最小值为. 解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：