2.2直接证明与间接证明探讨.ppt

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 2.2.2 反 证 法 综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式. 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 其特点是“由因导果”. 1.综合法:(顺推证法或由因导果法) 则综合法可用框图表示如下： 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. … 已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: ∵ b2+c2 ≥ 2bc,a0 ∴ a(b2+c2) ≥2abc. 又∵ c2+a2 ≥ 2ac,b0 ∴ b(c2+a2) ≥ 2abc. ∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc. 例题1 在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三角形． 分析 将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C； A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，即A+B+C=180°； a，b，c成等比数列转化为符号语言就是 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明. 证明： 由A，B，C成等差数列，所以 2B=A+C. ① 由A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180° ② ③ 由a，b，c成等比数列，有 ④ 由 ① ②，得 ① ②，得 由 ① ②，得 由余弦定理及③ ④ ，可得 因此a=c. 从而 A=C. ⑤ 所以△ＡＢC为等边三角形. 由 ② ③ ⑤ ,得 2.分析法(逆推证法或执果索因法) 从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等). 特点：执果索因 我们也可以用框图来表示分析法： 得到一个明显成立的结论 … 分析法的适用范围： 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件. 不等式： (a0,b0)的证明. 例1： 证明:要证 只需证: 只需证: 只需证: 因为: 成立 所以 成立 证明： 只需证 只需证 因为 和 都是正数，所以要证 例题2 即证 即证 2125. 因为2125成立，所以 成立. 在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就是综合法.但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难. 反思 注：反证法是最常用的间接证法 一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾, 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 3.反证法(归谬法) 1. 反证法的步骤： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真 反设——假设命题的结论不成立； 即假定原命题的反面为真； 存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。 归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理,得出矛盾； （1）直接证明有困难 正难则反! （3）唯一性命题 （2）否定或肯定性命题 （4）至多，至少型命题 2.适宜用反证法证明的题型 例1：已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证明：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a， ``` 如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是方程的两个根. 所以a=0,这与已知矛盾 例2: 设0 a, b, c 1， 求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于1/4 则三式相乘:(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a 又∵0 a, b, c 1 ∴ 同理： 以上三式相乘:(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾 ∴假设不成立，原结论成立 , (1 ? b)c , (1 ? c)a 证明：假设(1 ? a)b * * 例2