高中数学 正弦定理余弦定理的应用教案 北师大版必修.doc

1.1.3正弦定理、余弦定理的应用 教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容； 2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 教学方法：启发引导式 1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等； 2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用 教学过程：一、复习引入： 正弦定理： 余弦定理： ， 二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证： 证：左边= ==0=右边 例2 在△ABC中，已知，，B=45( 求A、C及c 解一：由正弦定理得： ∵B=45(90( 即ba ∴A=60(或120( 当A=60(时C=75( 当A=120(时C=15( 解二：设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理： 解之： 当时 从而A=60( ，C=75( 当时同理可求得：A=120( ，C=15( 例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且 2cos(A+B)=1 求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积 解：（1）cosC=cos[(((A+B)]=(cos(A+B)=( ∴C=120( （2）由题设： ∴AB2=AC2+BC2(2AC?BC?osC 即AB= （3）S△ABC= 例4 如图，在四边形ABCD中，已知AD(CD, AD=10, AB=14, (BDA=60(, (BCD=135( 求BC的长 解：在△ABD中，设BD=x 则 即 整理得： 解之： （舍去） 由余弦定理： ∴ 例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1(求最大角 ; 2(求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积 解：1(设三边 且 ∵C为钝角 ∴解得 ∵ ∴或3 但时不能构成三角形应舍去 当时 2(设夹C角的两边为 S 当时S最大= 例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长 分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝， 在△ADB中，cosADB＝ 在△ADC中，cosADC＝ 又∠ADB＋∠ADC＝180° ∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC ∴ 解得，ｘ＝2, 所以，BC边长为2 评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型 另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下： 由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA 三、课堂练习： 1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积 解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝ ∴ 又，其中R为三角形外接圆半径 ∴, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1 所以三角形三边长的乘积为1 评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理： ，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解 2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求 AB 解：在△ADC中， cosC＝ 又0＜C＜180°，∴sinC＝ 在△ABC中， ∴AB＝ 评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用 3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值 解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π ∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝ ∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π ∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180° 若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符 ∴0°