带降维观测器的状态反馈系统.doc

线性系统理论的实验作业: 1.找一个3阶单输入单输出系统； 2.设计降维观测器（极点自己选）； 3.设计带降维观测器的状态反馈系统； 4.讨论降维观测器极点配置和状态反馈极点的关系； 5.画出状态变量及观测误差曲线。 一．给定系统 1.设计一个降维观测器使其极点为-3，-4. 2.设计带观测器的状态反馈系统，使其极点为-1j2,-1. 3.讨论降维观测器的极点和状态反馈极点的关系。 4.画出状态变量及观测误差随时间变化的曲线。 解：（1）构造坐标变换矩阵。P= 用线性变换将系统变换成,其中 对于本例而言，降维观测器的的维数为n-p=2 降维观测器期望特征多项式为 。引入反馈阵 得到降维观测器的特征多项式为 比较两个多项式得： 可以得到降维观测方程： （） 执行以下的m文件 A11=6; A22=[-1,-1;1,0]; A12=[0,-1]; A21=[-11;-13]; B1=0; B2=[-1;0]; V=[-3,-4]; G=(acker(A22,A12,V)) Ahat=A22-L*A12 Bhat=Ahat*G+A21-G*A11 Fhat=B2-G*B1 G = -5 -6 Ahat = -1 -6 1 -6 Bhat = 60 54 Fhat = -1 0 因此降解观测器的增益矩阵G=，具有期望极点的降阶观测器为 (2)设计带此降维观测器的状态反馈系统 由传递函数知道系统能控且能观，因此存在状态反馈和状态观测器，根据分离特性可以分别进行设计，观测器已经设计完毕，现在来求状态反馈阵K，令K= 得到闭环系统矩阵为A+BK=以及闭环特征多项式f（）= 与期望特征多项式比较：k1=-1305,k2=-1286,k3=-1099. 执行如下m文件： A=[4,4,4;-11,-12,-12;13,14,13]; B=[1;-1;0]; C=[1,1,1]; J=[-1+j*2,-1-j*2,-1]; K=acker(A,B,J) 其解果如下截图： K = 187 179 140 (加个负号与我们计算值相等) (3)讨论降维观测器极点和状态反馈极点的关系，二者独立，相互分离。 答：设状态估计误差为，引入等效变换： ， 令变换矩阵为 经线性变换后的系统为： 或者展开为： 由于线性变换不改变系统的极点，因此有： 式子表明：由观测器构成状态反馈的闭环系统，其特征多项式等于矩阵（A+BK）与矩阵（A-HC）的特征多项式的乘积，即闭环系统的极点等于直接状态反馈（A+BK）的极点和状态观测期（A-HC）的极点的总合，而且二者独立，相互分离。 (4) 状态变量及观测误差随时间变化的曲线 执行以下m文件可确定基于观测器的控制器传递函数(系统整体闭环传递函数) A=[4,4,4;-11,-12,-12;13,14,13]; B=[1;-1;0]; A11=6; A22=[-1,-1;1,0]; A12=[0,-1]; A21=[-11;-13]; B1=0; B2=[-1;0]; Ka=187;Kb=[179,140]; G=[-5;-6]; Ahat=A22-G*A12 Bhat=Ahat*G+A21-G*A11 Fhat=B2-G*B1 Atilde=Ahat-Fhat*Kb; Btilde=Bhat-Fhat*(Ka+Kb*G); Ctilde=-Kb; Dtilde=-(Ka+Kb*G); [num,den]=ss2tf(Atilde,Btilde,-Ctilde,-Dtilde) f=tf(num,den) 执行结果如下图所示： num = 1.0e+003 * -1.5480 7.4640 3.8280 den = 1 -172 -1202 Transfer function: -1548 s^2 + 7464 s + 3828 ------------------------- s^2 - 172 s – 1202 因此控制系统的闭环传递函数为 已知闭环系统的初始条件为 =状态变量的初值，及观测误差的初值，三路状态变量，两路状态误差 基于闭环系统模型，编写并执行以下程序 A=[4,4,4;-11,-12,-12;13,14,13]; B=[1;-1;0]; K=[187,179,140]; Kb=[179,140]; G=[-5;-6]; A22=[-1,-1;1,0]; A12=[0,-1]; AA=[A-