最新北京小学奥数排列组合经典例题.doc

排列组合问题 教学目标： 1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合； 3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。 5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。 知识点拨： 加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M种不同的方法。 乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有种不同的方法 两个原理做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，一类中的方法都是独立的，用加法原理做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 mn表示.mn =n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = (规定0!=1). 组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号mn表示.mn = Pmn /m!= 一般当遇到m比较大时（常常是m0.5n时），可用Cmn = Cn-mn 来简化计算。 规定：Cnn =1, C0n=1. n的阶乘(n!)——n个不同元素的全排列 Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1 例题精讲： 排列组合的应用 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。 （1）（种）。 （2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．（种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×=1440(种)． （4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置． (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．（种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3××2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？ 个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知，，根据排列数公式，一共可以组成(个)符合题意的三位数。 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多大且百位数字不是的3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有(种)放法，对应24个不同的五位数； ⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有种选择．由乘法原理，可以组成(个)不同的五位数。 由加法原理，可以组成(个)不同的五位数。 用0到9十个数字组成没有重复数字；若将这些四位数按从小到5687是第几个数3的倍数？ 按位数来分类考虑： ⑴ 一位数只有个； ⑵ 两位数：由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的两位