排列组合专题复习及经典例题详解.doc
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排列组合专题复习及经典例题详解
学习目标
掌握排列、组合问题的解题策略
2.重点
(1)特殊元素优先安排的策略:
(2)合理分类与准确分步的策略;
(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;
(4)正难则反、等价转化的策略;
(5)相邻问题捆绑处理的策略;
(6)不相邻问题插空处理的策略.
3.难点
综合运用解题策略解决问题.
4.学习过程:
(1)知识梳理
1.分类计数原理(加法原理):完成一件事,有几类办法,在第一类办法中有 SKIPIF 1 0 种不同的方法,在第2类办法中有 SKIPIF 1 0 种不同的方法……在第n类型办法中有 SKIPIF 1 0 种不同的方法,那么完成这件事共有 SKIPIF 1 0 种不同的方法.
2.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有 SKIPIF 1 0 种不同的方法,做第2步有 SKIPIF 1 0 种不同的方法……,做第n步有 SKIPIF 1 0 种不同的方法;那么完成这件事共有 SKIPIF 1 0 种不同的方法.
特别提醒:
分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性;
分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏.
3.排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列, SKIPIF 1 0 时叫做选排列, SKIPIF 1 0 时叫做全排列.
4.排列数:从n个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 SKIPIF 1 0 表示.
5.排列数公式: SKIPIF 1 0
排列数具有的性质: SKIPIF 1 0
特别提醒:
规定0!=1
6.组合:从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个不同元素,组成一组,叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.
7.组合数:从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数,用符号 SKIPIF 1 0 表示.
8.组合数公式: SKIPIF 1 0
组合数的两个性质:① SKIPIF 1 0 ;② SKIPIF 1 0
特别提醒:排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.
(2)典型例题
考点一:排列问题
例1.六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
【解析】:(1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有 SKIPIF 1 0 种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有 SKIPIF 1 0 种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法: SKIPIF 1 0
方法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有 SKIPIF 1 0 种站法,然后中间4人有 SKIPIF 1 0 种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法: SKIPIF 1 0
方法三:若对甲没有限制条件共有 SKIPIF 1 0 种站法,甲在两端共有 SKIPIF 1 0 种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即共有站法: SKIPIF 1 0
(2)方法一:先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,和其余4人进行全排列有 SKIPIF 1 0 种站法,再把甲、乙进行全排列,有 SKIPIF 1 0 种站法,根据分步乘法计数原理,共有 SKIPIF 1 0 方法二:先把甲、乙以外的4个人作全排列,有 SKIPIF 1 0 种站法,再在5个空档中选出一个供甲、乙放入,有 SKIPIF 1 0 种方法,最后让甲、乙全排列,有 SKIPIF 1 0 种方法,共有 SKIPIF 1 0
(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有 SKIPIF 1 0 种站法;第二步再将甲、乙排
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