计算动力学第1篇.ppt

典型微分方程类型 范德波（van der Pol）方程 希尔(HiIl)方程 单摆 由牛顿第二定律： 非线性方程 式中角频率： 单摆 线性化处理 忽略3次以上的高次项 得线性方程 单摆 令 代入方程得得特征方程： 特征根： 得通解为： 式中 为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 必须满足条件： 将 写成指数形式后得： 该式是振幅为P，角频率为 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。 单摆 周期与摆角无关？ 看看实验结果： 定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形 单摆周期数学表达式 对方程 乘以 后积分 其中 积分 设t = 0时， ，周期为 T，在 时应有 ，故有： 最后得： §1.6 常微分方程初值问题数值解法 一阶常微分方程初值问题 在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。 ( 1 ) 数值方法的基本思想 * 对常微分方程初值问题(1)式的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间?a,b?上的一系列离散节点 处的函数值 的近似值 。相邻两个节点的间距 称为步长，步长可以相等，也可以不等。本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节点可表示为 数值方法的基本思想 * 数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。 对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息 计算 的递推公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、 中的导数 进行不同的离散化处理。 对于初值问题 数值方法的基本思想 * 数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题 的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi， 即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以外，还要用到 ，即前面k步的值，此类方法称为多步法；其代表是亚当斯法。 数值方法的基本思想 * Euler公式 * 1 Euler公式 欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题 的解y=y(x)代表通过点 的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的切线的斜率 等于函数 在这点的值。 Euler法的求解过程是:从初始点P0(即点(x0,y0))出发, 作积分曲线y=y(x)在P0点上切线 (其斜率为 ),与x=x1直线 相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为 当 时,得 Euler公式 * 同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线 交直线x=x2于P2点,切线 的斜率 = 直线方程为 Euler公式 这样就获得了P1点的坐标。 由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 以 = 为斜率作直线 Euler公式 当 时,得 这样,从x0逐个算出 对应的数值解 Euler公式 当 时,得 取 倒立单摆 例7： 倒立单摆 例7(续)： 小车动能 小球水平动能 小球垂直动能 小球势能 外力势能 倒立单摆 例7(续)： 拉格朗日函数 倒立单摆 例7(续)： 倒立单摆 例7(续)： 倒立单摆 例7(续)： 有限元 轴向压缩，对应的外力称为压力。 轴向拉