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立体图形的展开与折叠 【知识要点】 1．点线面三者之间的关系：面与面相交得到线，线与线相交得到点，即：点动成线，线动成面，面动成体。 2．简单几何体的分类：柱、锥、台、球。 球体：半圆绕它的直径所在的直线旋转所得的几何体。 3．柱分直棱柱和斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱；侧棱与底面不垂直的棱柱则称为斜棱柱。 4．长方体和正方体都属于直棱柱。 5．棱柱的有关概念： （1）棱：是棱柱中任何相邻的两个面的交线。 （2）侧棱：是棱柱中相邻的两个侧面的交线。 6．棱柱的有关特性： （1）棱柱上、下底面是相同的多边形，侧面是长方形。 （2）棱柱的所有侧棱长都相等。 （3）侧面数与底面多边形的边数相等。 例1.一只小蚂蚁想从小立方体的顶点A处爬到顶点B处，你能帮它找到最短的路线吗？请画图说明。 例2.观察图中平面展开图的折叠过程，并回答1号面、2号面、3号面的对面分别是几号面。 例3.如图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）这个多面体的面数，顶点数和棱数总和是多少？ 例4.将两完全相同的长方体拼在一起，如果能组成一个正方体，请你求出表面积减少的百分比。 例5如图1-2，可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小的是_____________. 例6 如图①所示是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）。将它们拼成如图②的新几何体，则该新几何体的体积为___________ cm3 ，（计算结果保留 ） 【经典练习】 1.如图，将三个同样的正方体重叠放在不透明的桌面上，每个正方体的六个 在上分别写有1,2,3,4,5,6,并且相对的两个面上的数字之和是7,现在有5个面上的数字不论从哪个角度都看不到,这5个看不到的面上的数字的乘积是_________________. 2．一只小蚂蚁想从长方体的顶点A处爬到顶点B处，能帮它找到最短路线么？请说明理由。 3．图中是正方体的展形图，在顶点处标有1—11个自然数，当折叠成正方体时，1、3、5、7、8分别与哪些数重合。 4．把图中的硬纸片沿虚线折起来，便成为一个正方体，这个正方体的2号平面的对面是（ ）。 A．3号面 B．4号面 C．5号面 D．6号面 5．图中是正方体的展开图，在顶点处标有1～11个自然数，当折叠成正方体时，6与哪些数重合（ ）。 A．7，8 B．7，9 C．7，2 D．7，4 6．两个同样大小的正方体形状的积木，每个正方形上相对的两个面上写的数之和都等于－1，现将两个正方体并列放置，看的见的五个面上的数字如图所示，试求看不见的七个面上的数的和。 7．下列3个平面图形分别是由什么几何体展开得到的？ 8．下面是一个长方体的平面展开图，请根据图上尺寸计算它的体积。 9．下面五个图形中，哪一个不是正方体的展开图？ 10．图中是一个正方体的展开图，在余下的正方形内分别填上一个适当的数，使得正方体相对两个面上两数的和都等于7。 11．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ） 12 如图（1）所示，在一圆柱体的下底边沿A处，不走直线而绕着圆柱侧面，沿一条螺旋形路线绕到B处的最短路线是什么？ 13．下面是一个正方体的展开图，图中已标出三个面的正方体中的位置，表示前面，表示右面，表示下面.试判定另外三个面、、在正方体中的位置。 14．下面的平面图形由4个完全相同的等边三角形组成，能否沿某些边将它折叠成三棱锥？如果不能，请你移动一下1个三角形的位置，使其能沿某些边折叠成三棱锥. 15．六个立方体A、B、C、D、E、F的可见部分如图，下边是其中一个立体__________的侧面展开图。 16．画出五个正方体的展开图。 17．请画出一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体的平面展开图，并标出各部分的长度。 18.如图1-24，是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计),则盒子的容积为____________. 【课后作业】 1．如果圆柱的高为3,底面半径为2,那么这个圆柱的侧面积是 . 2．如图所示,在正方体的展开图上编号,请你写出相对面的号码: 3的相对面 , 4的相对面