2014届高考数学：1114复数的概念及运算.doc

一、选择题 1．若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数x＋yi＝(　　) A．－2＋i　B．2＋I C．1－2i D．1＋2i 解析：由题意得，xi＋1＝y＋2i，故x＝2，y＝1，即x＋yi＝2＋i. 答案：B 2．i为虚数单位，则()2011＝(　　) A．－i B．－1 C．i D．1 解析：因为＝＝i，所以原式＝i2011＝i4×502＋3＝i3＝－i. 答案：A 3．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 解析：方法一：＝＝为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2； 方法二：＝为纯虚数，所以a＝2. 答案：A 4．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z＝＝＝－i，其在复平面内对应的点在第四象限． 答案：D 5．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x|||＜1，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 解析：对于集合M，函数y＝|cos2x|，其值域为[0,1]，所以M＝[0,1]．由于||＝|－xi|＝|x|，故－1＜x＜1，所以N＝(－1,1)，则M∩N＝[0,1)． 答案：C 6．已知复数z1＝x2＋i、z2＝(x2＋a)i，对任意x∈R均有|z1|＞|z2|成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1，－] B．(－1，) C．[－1，) D．(－1，] 解析：|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，因为|z1|＞|z2|，所以有＞|x2＋a|，即(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立，当1－2a＝0即a＝时，1－＞0恒成立，或?－1＜a＜.所以a的取值范围是(－1，]．故选D. 答案：D 二、填空题 7．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是__________． 解析：z＝－1＝1＋3i，所以z的实部是1. 答案：1 8．设t是实数，且＋是实数，则t＝__________. 解析：＋＝＋＝＋i， 当t＝2时，为实数1. 答案：2 9．设z1是复数，z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为__________． 解析：设z1＝a＋bi，则1＝a－bi， ∴z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝a－b＋(b－a)i； ∵z2的实部是－1，即a－b＝－1，∴b－a＝1，即z2的虚部为1；故填1. 答案：1 三、解答题 10．要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，其中的实数a是否存在？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解析：假设z为纯虚数， 则有 由①得a＝－2或a＝3. 当a＝－2时，②式左端无意义． 当a＝3时，②式不成立． 故不存在实数a，使z为纯虚数． 11．复数z＝(a，b∈R)，且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值． 解析：z＝(a＋bi) ＝2i·i(a＋bi) ＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4.① ∵复数0，z，对应的点构成正三角形， ∴|z－|＝|z|. 把z＝－2a－2bi代入化简，得a2＝3b2，② 代入①得，|b|＝1. 又∵z对应的点在第一象限， ∴a＜0，b＜0. 由①②得 故所求值为a＝－，b＝－1. 12．设复数z满足4z＋2＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围． 解析：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则＝a－bi. 代入4z＋2＝3＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，即6a＋2bi＝3＋i. ∴ ∴z＝＋i. |z－ω|＝|＋i－(sinθ－icosθ)|＝ ＝ . ∵－1≤sin(θ－)≤1， ∴0≤2－2sin(θ－)≤4. ∴0≤|z－ω|≤2.