实验线性方程组的迭代解法.doc

实验二 线性方程组的迭代解法 实验名称：学　　时：① 操作系统：Windows2000/XP； ② 开发平台：VC++ 6.0或以上版本； ③ 编程语言：C++ 2.2 实验目的 ① 掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法； ② 初步掌握解线性方程组的迭代算法的设计方法。 2.3 实验原理和方法 2.3.1 迭代法的基本原理 根据方程组设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一个初始向量代入迭代公式，求出，再以代入同一迭代公式，求出，如此反复进行，得到向量序列。当收敛时，其极限即为原方程组的解。 定理 当方程组的系数矩阵满足按行严格对角占优时，雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代算法对任意的初始向量收敛。 2.3.2 雅可比（Jacobi）迭代法的算法描述 设方程组的系数矩阵对角线元素，为最大迭代次数，为容许误差。雅可比（Jacobi）迭代法解方程组的算法描述如下： ① 任取初始向量，令迭代次数. ② ，并且 对，计算 （1） ③ 如果，则输出，结束；否则执行④ ④ 如果，则不收敛，终止程序；否则转② 2.3.3 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法的算法描述 在雅可比（Jacobi）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解。基于这种设想构造的迭代公式 ， （2） 称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法. 算法可相应地从雅可比（Jacobi）迭代法改造得到（作为练习）。 2.3.4 逐次超松弛(SOR)迭代算法描述 所谓逐次超松弛迭代算法就是， 为了提高精度，可以考虑运用松弛技术，将高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代得到的值进一步加工成某种松弛值，迭代公式如下 ，（3） 其中为松弛因子（显然当时，就是高斯-塞德尔迭代公式） 由于新值通常优于旧值，在将两者加工成松弛值时，自然要求松弛因子，以尽量发挥新值的优势，这类迭代就称为逐次超松弛(SOR)迭代法。 使用SOR迭代的关键在于选取合适的松弛因子，松弛因子的取值对收敛速度影响很大，但如何选取最佳松弛因子的问题，至今仍未有效解决，在实际计算时，通常依据系数矩阵的特点，并结合以往的经验选取合适的松弛因子。 2.4 实验内容和步骤 1． 用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法解线性方程组 （1）用雅可比（Jacobi）迭代法的算法解上述方程组的程序如下： #define N 3 // 线性方程组的阶数 #include iostream.h #include math.h void main() { double a[N][N]={5,2,1,2,8,-3,1,-3,-6}, //系数矩阵 b[N]={8,21,1}; //右端常数向量 double x0[N]={1,1,1},x[N]; // 迭代初始向量和迭代向量 double e=1e-5; // 精度要求 int M=5000; //最大迭代次数 int i,j,c_M=0; double sum,current_e; do{ current_e=0; for(i=0;iN;i++) { sum = 0; for(j=0;jN;j++) { if(j!=i) { sum = sum + a[i][j] * x0[j]; } } x[i] = (b[i] - sum) / a[i][i]; }// 更新迭代向量 c_M++; //迭代次数加1 for(i=0;iN;i++) { if(fabs(x[i]-x0[i])current_e) current_e = fabs(x[i]-x0[i]); } //计算当前误差 for(i=0;iN;i++) x0[i] = x[i]; //更新初始向量 }while(current_eec_MM); //判断是否仍未达到精度要求且未达到最大迭代次数 for(i=0;iN;i++) cout x[i] endl; //输出结果 cout c_M endl; //输出迭代次数 } 结合雅可比（Jacobi）迭代算法读懂程序，并且选择不同的精度和迭代次数，观察输出结果； 写出高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代算法，并简述与雅可比（Jacobi）