平行四边形典型例题.doc

平行四边形典型例题 　　　　　　　　　　　　　 1．已知如图12-1-19，所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥BC于F． 求证：四边形AECF是平行四边形 错证：在△AOE和△COF中 ∵OE⊥AD，OF⊥BC? ∴∠AEO=∠CFO=90° ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA＝OC，AD∥BC?? ∴∠EAC＝∠ACF ∴△AOE≌△COF（AAS）?? ∴OF=OE ∴四边形AECF是平行四边形 错误分析：上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线． 正确证明：在△AOE和△COF中 ∵OE⊥AD? OF⊥BC? ∴∠AEO＝∠CFO＝90° ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA＝OC，AD∥BC?? ∴∠EAC=∠ACF ∴△AOE≌△COF（AAS）? ∴OF＝OE 又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC ∴E、O、F三点共线 ∴四边形AECF是平行四边形 2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形． 分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线． 解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单． 证明：在Rt△ABC中? ∵AC＝BC? ∴∠B=45° 又∵E、D分别为AC、BC的中点 ∴EC＝DC? ∴∠CED＝∠CDE＝45° ∴∠AEF＝∠CED＝45°? ∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180° ∴F、E、D在一条直线上? ∵∠EAF＝∠C＝90°? ∴AF∥CD 又∵AF＝CD＝DB? ∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45° 3．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便． 分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分． 证明方法（一） 在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE． ∴△ABF≌△CDE? ∴AF＝CE 同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形 方法（二） 连AC交BD于O 在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD ∵BF＝DE? ∴OE=OF? ∴四边形AECF为平行四边形 4．如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？ 分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行． 解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行． 如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形． 5．已知如图12-1-4所示，□ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BE＝AB，在CE上取一点M使CM＝CD，连结DM并延长交AE的延长线于点F 求证：BD＝BF 分析：由于BD，BF是△BDF的两边，所以要证BD＝BF，可由证△BDF中∠BDF＝∠F入手，易知∠F＝∠CDM=∠CMD＝∠EMF，故只要证BD∥CE，由此由证法一又注意到BF＝BE+EF，易知BE＝AB＝CD＝CM，EF＝EM，故BF＝CE，从而只要证BD＝CE，由此有证法二． 证法（一）：∵四边形ABCD为平行四边形? ∴ABCD 又∵E点在AB延长线上，且BE＝AB?? ∴ABCD ∴四边形BECD是平行四形?? ∴BD∥CE?? ∴∠BDF＝∠EMF ∵∠EMF＝∠CMD??? ∴∠BDF＝∠CMD 又∵CM＝CD?? ∴∠CMD=∠CDM?? ∴∠BDF＝∠CDM ∵AF∥CD? ∴∠CDM＝∠F? ∴BDF＝∠F 即BD＝BF 证法（二）：∵四边形ABCD为平行四边形?? ∴ABCD 又∵E点在AB延长线上且BE＝AB?? ∴BECD ∴四边形BECD是平行四边形? ∴BD＝CE，BE＝CD 又∵∠EMF=∠CMD，CD＝CM?? ∴∠CMD=∠CDM ∴∠EMF=∠CDM? ∵BE∥CD?? ∴∠F＝∠EMF? ∴EF＝EM ∴BF＝BE+EF＝CD+EM=CM+EM＝CE＝BD 即BF＝BD 习题精选 　　　　 　　一、填空题 　　1．过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为