平行板电容器电容公式的推导.pdf

中学物理 V01．29No．03 2011年2月 ·教材研究· 平行板电容器电容公式的推导 曹铁岭鲁建全 (郑州外国语学校河南郑州450001) 平行板电容器的电容由什么决定?人教版新教材这样说 又有 簧=eosO， 明：理论分析表明，当平行板电容器的两极板间是真空时，电 C 得dS=翁． 容C与极板的正对面积S、极板距离d的关系为C=j4，rLkd， 式中五为静电力常量． 面积微元dS的点电荷在0处激发场强在z方向的分量 当两极板间充满同一种介质时，电容变大为真空时的e， dEx一丝00s口：下laSSoo． 7 ^C (葫r)2 倍，即C=圭兰，e，是一个常数，与电介质的性质有关，称为 叶ZfFMd 平面上所有面积微元的电荷在。处激发场强在z方向 相对介电常数． 分量的矢量合 这个公式是如何理论推导出来的呢?这是很多师生关心 的问题．本文从以下几个步骤，利用高中所学的知识进行推 E=∑强=∑丁I皈Soo=笋∑弱。 导，希望能解除师生心中的困惑． =等2肘2：27rka． 1 真空中无穷大均匀带电平面激发场强公式 先定性分析，由对称性可知，无穷大均匀带电平面在空 即真空中电荷面密度为盯的无穷大均匀带电平面在离平面 间任一点激发电场的方向一定垂直于带电平面，在带电平面 距离为，．的。处激发的场强公式E=2砌． —侧空间中各点场强方向均相同，则该空间一定是匀强电 2 真空中平行板电容器板间匀强电场的场强公式 场，如图l，即场强大小与该点到带电平面距离无关．根据电 真空中两个无穷大带等量异种电荷的平行导体板，电荷 场的叠加原理，电荷面密度盯加倍，相当于两个完全一样的 都均匀分布在内表面上． 带电平面激发的电场叠加，所以场强加倍，可得E。C盯． 带正电的板单独在空间激发的电场大小为E。=2，rka， 再定量分析，可以证明，电荷面密度为盯的无穷大均匀 方向垂直板面且背离板面． 带电平面在离平面距离为r的。处激发的场强，与单独的半 带负电的板在空间单独激发的电场大小为E2=2，rka， 径也为r，电荷面密度也为盯的均匀带电半球壳上所有电荷 方向垂直板面且指向板面． 均集中在A点时在球心。处激发的场强相同．推导如下： 由电场的叠加原理可得平行板电容器外部场强为零，内 在平面上任取一面积微元 部场强为 dS，带电量ads，可看做点电荷．连 E=El+E2=4兀lea， ’ 接0到dS面上边界所有点，形成 ￡ E 如图3所示． _ 包络面，在半球壳上可得到对应的 面积微元dS。，设包络线与z方向 夹角0，面积微元dS在垂直包络面 图l 。