五节常见的二次曲面及其方程.PPT

第五节 常见的二次曲面及其方程 一、基本内容 二、小结 一、基本内容 二、小结 * * 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． （一）椭球面 椭球面与三个坐标面的交线： 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 的交线为椭圆 同理与平面 和 的交线也是椭圆. 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 方程可写为 与平面 的交线为圆. 球面 截面上圆的方程 方程可写为 （二）抛物面 （ 与 同号） 椭圆抛物面 用截痕法讨论： （1）用坐标面 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 设 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. 与平面 不相交. （2）用坐标面 与曲面相截 截得抛物线 与平面 的交线为抛物线. 它的轴平行于 轴 顶点 （3）用坐标面 ， 与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 时可类似讨论. z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下： 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面 （由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的） 与平面 的交线为圆. 当 变动时，这种圆的中心都在 轴上. （ 与 同号） 双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论： 设 图形如下： x y z o （三）双曲面 单叶双曲面 （1）用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点 的椭圆. 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. （2）用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点的双曲线. 实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合. 双曲线的中心都在 轴上. 与平面 的交线为双曲线. 实轴与 轴平行, 虚轴与 轴平行. 实轴与 轴平行, 虚轴与 轴平行. 截痕为一对相交于点 的直线. 截痕为一对相交于点 的直线. （3）用坐标面 ， 与曲面相截 均可得双曲线. 单叶双曲面图形 x y o z 平面 的截痕是两对相交直线.