二次曲面的分类.doc

二次曲面的分类 在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成 即 ， 其中，. 记，那么实二次型的矩阵为，通过正交线性替换，其中，有 ， 其中是实对称矩阵的全部特征值，它们与正交矩阵无关，由矩阵唯一确定. 这样，在上述正交线性替换下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 . 最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面： （一）假设都非零，即，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去一次项后可以变为的形式。进而得到： 椭圆面 ； 虚椭圆面 ； 单叶双曲面 ； 双叶双曲面 ； 虚二阶锥面（一个点） ； 二阶锥面 ； （二）假设的秩为2，不妨设都非零，，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去一次项后可以变为或的形式。进而得到： 椭圆抛物面 ； 双曲抛物面 ； 椭圆柱面 ； 虚椭圆柱面 ； 双曲柱面 ； 一对相交平面 ； 一对相交虚平面 ； （三）假设的秩为1，不妨设，，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去含一次项后，可以变为的形式。如果必要的话再做关于轴的旋转，得到 . 于是得到： 抛物柱面 ； 一对平行平面 ； 一对虚平行平面 ； 一对重合平面 .