第十八章--选修4-5不等式选讲解析.doc

第十八章 不等式选讲（选修4-5） ※基础知识 1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上，两点间的距离.。 绝对值不等式的基本解法： （1）与型的不等式的解法。 把 看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解。 当时，不等式的解集是 不等式的解集是; 当时，不等式的解集是 不等式的解集是; （2）平方法:解型不等式。 （3）分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 （4）几何法：即转化为几何知识求解。 （5）绝对值不等式基本公式：。 2.柯西不等式 若都是实数，则 （当且仅当取等号） 柯西不等式一般形式：设，是实数 当且仅当或存在一个数，使得时成立等号 3.排序不等式 若实数，，是的一个排列，则 反序和乱序和顺序和 （当且仅当或时，反序和等于顺序和） 4.算术—几何平均不等式： （1）如果，那么（当且仅当时取“=”） （2）如果 则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数； 基本不等式：≥（） 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明。 ※典型例题不等式的解集为（ ） （2）不等式的解集为（ ）. 　　　　 　　 ，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为__________. （4）解不等式。 （5）解不等式。 练习2.（1），若，则的取值范围为__________. （2）【2015高考重庆理】若函数的最小值为5，则实数a=_______. （3）【2015高考新课标1】已知函数 . （I）当 时求不等式 的解集； （II）若 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 题型二：基本不等式与柯西不等式 例2.（1）求函数的最大值 （2）若，求的最小值，并求最小值点 （3）在中，设其各边长为，外接圆半径为R， 求证： 练习2.（1），函数的最小值为4． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求的最小值． （3）【2014高考全国1】若，且. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由. 题型三：排序不等式 例3.已知为正数，求证：。 练习3.有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第（=）个人的水桶需要分，假定这些各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 题型四：不等式综合 例4.（1）【2015高考陕西文】 已知关于的不等式的解集为 (I)求实数的值； (II)求的最大值. （2）【2014高考全国2】设函数= （Ⅰ）证明：2； （Ⅱ）若，求的取值范围. 练习4.（1）【2015高考新课标2理】 设均为正数，且证明： （），则； （）的充要条件． （3）【2015高考湖南理】设，且. 求证：（1）； （2）与不可能同时成立. ※课后练习已知函数,.(Ⅰ)当时,求不等式的解集; (Ⅱ)设,且当时,,求的取值范围 设均为正数,且, 证明:(Ⅰ); (Ⅱ). 3.已知函数,其中.(I)当时,求不等式的解集; (II)已知关于的不等式的解集为,求的值. 8