圆的定义和性质.doc

教师 陈赣祥 科目 数学 上课日期 总共学时 学生 年级 九年级 上课时间 第几学时 类别 基础 提高 培优 科组长签字 教务主管签字 校区主任签字 一、圆的定义 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点是圆心，定长是圆的半径。 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形（运动观点） 圆心半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置。 同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。 等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。 圆既是轴对称图形（经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心）。 二、点与圆的位置关系 思考：圆周上的点与圆心有什么关系？ 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？ 点与圆心的距离为，则点在直线外； 点在直线上； 点在直线内。 注意：这里是等价关系，即由左边可以推出右边，由右边也可以推出左边。 三、过三点的圆 思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？ 经过两个点，如何作圆，能作多少个？（线段的垂直平分线） 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 结论：不在同一直线上的三点确定一个圆。 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。 问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？ 问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？ 四、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角：顶点在圆心的角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 弧：优弧、劣弧；同弧、等弧 弦：直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。 弦心距：从圆心到弦的距离。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 思考：什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平行这条弦，并且平分弦所对的弧。 注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！！ 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 总结：垂径定理及其推论是指一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分另一条弦”④“平分另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制） 若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？ 说明：（1）见到直径要想到它所对的圆周角是直角 （2）见到弦常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。这样圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 （3）因为圆的半径相等，所以解与圆有关的题目的时候，常常会出现等腰三角形，从而有角相等。 例题分析 例1：判断下列命题的真假，并说明为什么？ ⑴ 平分弦的直径一定垂直于这条弦 （ ） ⑵ 在同一平面内，三点确定一个圆 （ ） ⑶ 如果弧相等，那么它所对应的圆心角也相等 （ ） ⑷ 同圆中两条等弧所对的弦一定相等 （ ） 例2：一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为( ) (A)16cm或6cm (B)3cm或8cm 　 (C)3cm 　　（D）例3：如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=_______ O中，CD为的直径，AB和EF为圆⊙O的两条弦，并且AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？ 例5：如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 例6、如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N.且AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM