拓展思维空间,提高思维能力.doc

问题引领思维,思维提升能力 湖北省秭归一中数学组 熊敏 443600 在学习直线与双曲线的位置关系时,经常要研究符合条件的直线的条数或公共点的个数等问题.例如: 题目1:已知双曲线，过点P（1，1）作直线与此双曲线有且仅有一个公共点，则的条数为（ ） A、4条 B、3条 C、2条 D、1条 分析： 当的斜率不存在时，：x=1与双曲线相切，有且只有一个公共点; 当的斜率存在时，设斜率为k,则：y－1=k(x－1)，代入4x2－y2－4=0，, 若4－k2=0k=2时，,与双曲线只有一个公共点; 或K=－2时，,与双曲线只有一个公共点. 若,与双曲线只有一个公共点. 故符合题意的直线共4条. 问题1：这四条直线与该双曲线是怎样的位置关系？ 当k不存在或k=时，直线与双曲线相切； 当k=2时，与双曲线相交，都与双曲线的渐近线平行。 问题2:将上述问题推广到一般双曲线和点P的情形，并进一步讨论的存在性。 结果如下表: 点P的 位置 双曲线 内部 （含焦点） 双曲线上 双曲线外 部且不在 渐近线上 渐近线上， 但不在中心 双曲线 中心 直线 的条数 2条 3条 4条 2条 不存在 直线与曲线的位置关系 相交(与渐近线平行) 一条切线; 2条交线 (与渐近线 平行) 2条切线,2条交线(与渐近线平行) 1条切线,1条交线(与渐近线平行) 题目2:过双曲线左焦点F的直线与双曲线交于A、B两点，若=5，则这样直线有（ ） A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 分析：当的斜率不存在时，AB⊥x轴，F（－3，0）， ,符合条件. 当的斜率存在时，设为k,则直线AB的方程为y=k(x+3),代入5x2－4y2－20=0, 5x2－4k2(x+3)2－20=0(5－4k2)x2－24k2x－36k2-20=0,则 , 故符合条件的直线共3条. 思考⑴:象上面这样做虽然思路正确，但运算量较大,有无简便方法解答此题？ 结论:过双曲线焦点的直线与此双曲线交与不同两点,当这两点在同支上时,垂直于含焦点的对称轴的弦最短; 当这两点在异支上时,两顶点间的距离弦最短. 比较最短弦长与的大小,利用此结论可迅速得出符合条件的直线条数. 思考⑵:若将条件=5变为①=3;②=4;③=4.5;④=6,问此时符合条件的直线分别有几条？并由此探索出一般性的结论。 答案分别为：①不存在；②一条；③2条；④4条。 探索出一般性结论是： （a0,b0） 焦点弦长 直线的条数 ab 2a 不存在 =2a 一条 2a 二条 = 三条 四条 a=b 2a 不存在 =2a 二条 2a 四条 ab 不存在 = 一条 2a 二条 =2a 三条 2a 四条 研究此题,切忌就题论题,在分析清楚它的思维解答过程之后, 还应依据双曲线形状和各种数据,利用数形结合法找出个别和一般之间的联系与区别，分类和归纳，提出关于一般性结论的猜想,并进行证明.通过上述这样的探究过程来拓展学生的思维空间,提高学生的思维能力. x y F