第三章矩阵 第四章向量空间练习题.pdf

第三章 矩 阵 §3.1 矩阵的运算练习题 1. 如果矩阵 X 满足 X +2A=B －X ，其中 ⎛1 0 −1⎞ ⎛3 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A= ⎜0 3 2 ⎟，B= ⎜4 0 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 0 −2 ⎠ ⎝0 −1 0 ⎠ 求 X 。 2. 已知矩阵 ⎛1 3 0⎞ ⎛1 2 3⎞ ⎜ ⎟ A= ⎜⎝0 3 1 ⎟⎠，B= ⎜⎜2 1 0 ⎟⎟， ⎝1 0 1⎠ 计算AB ，AB-ABT. 3. 设矩阵 ⎛1 1 0⎞ ⎜ ⎟ A= ⎜0 1 1 ⎟， ⎜⎝0 0 1 ⎟⎠ 计算An,其中n为正整数。 4. 设α 1,0,=−1 T ，矩阵A= ααT 。计算 aE −An ，其中E 为三阶单位阵，n 为正整数。 ( ) 5. 设 4 阶矩阵 A= (α,γ ,γ ,γ )，B= (β,γ ,γ ,γ )， 2 3 4 2 3 4 其中α,βγ, ,γ ,γ 均为 4 维列向量，且已知行列式 A 4, B 1. 求 A +B 。 2 3 4 6. 设A为n阶矩阵，n为奇数，且满足AAT=E ， A 1 。求 A-E 。 ⎛1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 7. 设矩阵 A= ⎜0 1 1 ⎟。求3 阶矩阵 X ，使得AX=XA 。 ⎜⎝0 0 1 ⎟⎠ 8.设A是n阶实矩阵。证明如果AAT=O ，则A=O 。 9. 设A ，B是n阶实矩阵，若A2 2 =A ，B =B ，则称A ，B为幂等阵。已知A ，B是幂等阵，证明 A+B也是幂等阵的充要条件是AB=BA=O 。 §3.2 几种特殊的矩阵练习题 1. 设矩阵 1 ⎛a1 ⎞ ⎜ ⎟ a A= ⎜ 2 ⎟， ⎜ O ⎟ ⎜ ⎟ a ⎝