高中数学竞赛教材讲义 第五章 数列教师版.doc

高中数学竞赛教材讲义 数列 定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。 定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的0，存在M，对任意的nM(n∈N),都有|an-A|，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 高阶等差数列 1.定义：对于一个给定的数列{an}，把它的连结两项an+1与an的差an+1-an记为bn，得到一个新数列{ bn}，把数列bn你为原数列{an}的一阶差数列，如果cn=bn+1-bn，则数列{cn}是{an}的二阶差数列依此类推，可得出数列{an}的p阶差数列，其中pN 2.如果某数列的p阶差数列是一非零常数列，则称此数列为p阶等差数列 3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称 4.高阶等差数列的性质： (1)如果数列{an}是p阶等差数列，则它的一阶差数列是p-1阶等差数列 (2)数列{an}是p阶等差数列的充要条件是：数列{an}的通项是关于n的p次多项式 (3) 如果数列{an}是p阶等差数列，则其前n项和Sn是关于n的p+1次多项式 5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前n项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是an=a1+ (2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项an与前n项和Sn是确定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得 (3)裂项相消法：其出发点是an能写成an=f(n+1)-f(n) (4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的 例1.数列{an}的二阶差数列的各项均为16，且a63=a89=10，求a51 解：法一：显然{an}的二阶差数列{bn}是公差为16的等差数列，设其首项为a,则bn=a+(n-1)×16,于是这是一个关于n的二次多项式，其中n2的系数为8，由于a63=a89=10,所以an=8(n-63)(n-89)+10，从而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 解：法二：由题意，数列{an}是二阶等差数列，故其通项是n的二次多项式，又a63=a89=10，故可设an=A(n-63)(n-89)+10 由于{an}是二阶差数列的各项均为16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16即a3-2a2+a1=16，所以A(3-63)(3-89)+10-2[A(2-63)(2-89)+10]+A(1-63)×(1-89)+10=16解得：A=8an=8(n-63)(n-89)+10，从而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 例2.一个三阶等差数列{an}的前4项依次为30,72,140,240，求其通项公式 解：由性质(2)，an是n的三次多项式，可设an=An3+Bn2+Cn+D由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得 例3.求和：Sn=1×3×22+2×4×32+…+n(n+2)(n+1)2 解：Sn是是数列{n(n+2)(n+1)2}的前n项和， 因为an=n(n+2)(n+1)2是关于n的四次多项式，所以{an}是四阶等差数列，于是Sn是关于n的五次多项式 k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求Sn可转化为求 k(k+1)(k+2)(k+3)=[ k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)]，所以 从