应力分析-地震波动力学.ppt

为方便，将坐标轴取于三个主方向重合，亦即沿着三个相互垂直主平面的法线方向，此时 于是根据柯西公式，得： 应力与应力分量—最大与最小应力 上式中，l ,m 和n为斜截面外法线方向N的方向余弦。 同样消去式中m或n，可得另外两个极值 应力与应力分量—最大与最小应力 现在求最大与最小剪应力: 在斜截面上总应力PN在x,y,z轴上的投影，根据Cauchy公式，为： 剪应力： 应力与应力分量—最大与最小应力 下面采用几何法讨论最大与最小剪应力 ： 应力与应力分量—最大与最小应力 由： 应力与应力分量—最大与最小应力 应力与应力分量—最大与最小应力 进一步改写成 应力与应力分量—最大与最小应力 显然： 应力与应力分量—最大与最小应力 即通过2轴，并与1轴和3轴成45°夹角。 此时作用面的方向可求出，为： 所对应的正应力为： 应力与应力分量—最大与最小应力 应力与应力分量—最大与最小应力 应力与应力分量—最大与最小应力 应力与应力分量—最大与最小应力 应力与应力分量—最大与最小应力 而剪应力 应力与应力分量—平衡和运动 微分方程 ◆前面研究物体内一点的应力状态，本节研究整个物体应力满 足的方程。 假想过物体做三组与三个坐标平面平行的截面，在物体内就把物体分割成无数微分平分六面体（单元体或微元体），在靠近物体表面处，只要三组平分截面取得足够密，则被切割成微分四面体，如图所示。 分别考虑物体内部任意一个微分平分六面体和表面处任意一个微分四面体的平衡和运动，就可以求出平衡和运动微分方程，以及力的边界条件，用以研究物体内各点应力之间的关系。 应力与应力分量—平衡和运动 微分方程 应力与应力分量—平衡和运动 微分方程 在物体内任取一点 ，割取一个平行于坐标面的平行六面体，如图所示： 为另一对角点，MA=dx， MB=dy，MC=dz。 ◆一般情况下，物体内不同点将有不同的应力，即应力是空 间位置的函数。 应力与应力分量—平衡和运动 微分方程 应力与应力分量—平衡和运动 微分方程 略去高阶小量得： 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 代入Cauchy公式得： Cauchy公式和上式表明，只要知道物体内一点九个应力分量，就可以求出过此点任一斜微分面上的应力，同时，九个应力分量（只有六个独立）完全确定了一点的应力状态。 ◆一点的应力分量与所取的坐标系有关，当坐标改变时，同一 点的应力分量表示形式将发生相应的变化，而该点应力状态 不随之变化。 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 在坐标系oxyz中，应力张量为： 坐标系旋转过某一角度，转到新的坐标系ox′y′z′，如图所示： 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 原坐标轴与新坐标轴之间的关系用方向余弦来表示（见下表）： 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 n3 m3 l3 z′ n2 m2 l2 y′ n1 m1 l1 x′ z y x 在新坐标系ox′y′z′下应力张量为： 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 则有： 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 代入上式整理得： 通过x′，y′，z′三者轮换，可得其余6个应力分量： 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 上式称为转轴时应力分量的变换公式： 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 若记： 应力与应力分量—物体内一点 的应力状态 每个应力分量都是一个双一次形式，记成应力张量形式，则为二阶张量。 应力与应力分量—主应力和主方向 ◆物体内一点的应力状态由什么决定？ 1、应力分量 物体本身性质及坐标系决定，不可控 2、过该点的微分面 可控 应力与应力分量—主应力和主方向 ◆过物体内一点可以做无数个斜微分面，这些斜微分面上正 应力和剪应力都不相同，即随斜微分面方位不同而变化。 对于物体内一点是否存在这样的微分面，在这面上只有正 应力而无剪应力且此时正应力达到极值？ 应力与应力分量—主应力和主方向 应力与应力分量—主应力和主方向 应力与应力分量—主应力和主方向 即： 又因为： 则上式可化为： 应力与应力分量—主应力和主方向 又由柯西公式可得： 即： 令此比值为 应力与应力分量—主应力和主方向 应力与应力分量—主应力和主方向 ◆主平面：过物体内任一点可做无数个斜微分面，这些斜微 分面上的正应力和剪应力都各不相同，但是存在 这样的微分面，其上只有正应力而没有剪应力，