数学归纳法教学课件(课时).PPT

数学归纳法的发现 * 西安市第一中学 曾卫鹏 北师大版高中数学选修2-2第一章§4第一课时 第一阶段:输入阶段 创设问题情境，启动学生思维 不完全归纳法和完全归纳法对比引例 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比大徒弟聪明． 这则故事对我们有什么重要启示？ 事物都是一分为二的，我们应该辩证地看问题，要学会灵活使用不完全归纳法。 第一阶段:输入阶段 回顾数学旧知，追溯归纳意识 这是不完全归纳法 这是完全归纳法 已知数列 前四项分别是 , 写出该数列的一个通项公式． 利用判别式总结直线和椭圆位置关系时需要分哪几种情况进行讨论？ 需要分 和 三种情况进行讨论。 第一阶段:输入阶段 借助数学史料, 促使学生思辨 问题1 已知 ，(n∈N*)。(1)分别求 , , , .(2)由此你能得到一个什么结论? 这个结论正确吗? 问题2 ,当n∈N时，是否都为质数？  验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，… ， f（39）＝1 601． 但是 f（40）＝1 681＝ ，是合数． 多米诺骨牌 第二阶段:新旧知识相互作用阶段 搜索生活实例，激发学习兴趣 多米诺骨牌游戏成功的关键有两点：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下．于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 搜索：再举几则生活事例：车棚里整齐排放的自行车被推倒, 烽火台传递信息，早操排队对齐等． 第二阶段:新旧知识相互作用阶段 探究数学问题，领悟方法真谛 问题探究：不等式 对于哪些正整数n都成立？证明你的结论。 （1）结论的发现：当 时，原不等式成立。 （2）尝试证明：结论的发现要通过大量的实验，如何改进刚才无穷无尽的实验方法？比如n=4时的情况。 已知n=3时，不等式成立，即 ,能否由此出发来证明不等式当n=4时也成立即 。等价于问题：已知 ，求证： （不用直接计算） 第二阶段:新旧知识相互作用阶段 探究数学问题，领悟方法真谛 现在已知n=4时，不等式成立，以此出发来证明 当n=5时，不等式也成立。即已知 ， 求证： 可以仿照刚才的证明那样，只要把3改成4，把4改成5就可以了。 刚才的证明与实验的不同之处是什么？ 第二阶段:新旧知识相互作用阶段 探究数学问题，领悟方法真谛 不同之处是：试验一次与另一次的均不同，要做无穷多次，永远做不完。而现在做的，虽然也要做无穷多次，但都是类似的，本质上是相同的。做一次可以顶很多次了。那么能否把刚才的问题一般化？ 已知 ，求证： 证明这个命题的意义是什么？体现了什么数学思想？ 意义在于将无穷多次重复的实验浓缩为一个具体步骤，体现了递推思想。 第二阶段:新旧知识相互作用阶段 探究数学问题，领悟方法真谛 思考与交流1：能否把刚才的思维过程用关键性的几个步骤表示出来？ （1）验证当n=3时原不等式成立； （2）假设当 时不等式成立，即 。则当n=k+1时 所以根据（1），（2）不等式 对任何 都成立。 第二阶段:新旧知识相互作用阶段 引导学生概括，形成科学方法 通过刚才问题的探讨，相信给大家留下了深刻的印象，请同学们类比刚才不等式