88(多元函数的极值及其求法).ppt

* 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值, 解方程组 第二步 判别 ? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3. 函数的最值问题 在条件 求驻点 . * 思考题 * 解答 * 求函数 解 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 * 在点(?3,0) 处 不是极值; 在点(?3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; * 解 为此作拉格朗日乘函数: 在圆内的嫌疑点; 在圆上的嫌疑点. 上的最大值与最小值. * 最大值为 最小值为 * 设有一小山, 取它的底面所在的平面为xOy坐标 小山的高度函数为 (1) 设M(x0 , y0)为区域D上一点, 问h(x, y)在该点 若记此方向导数 的最大值为g(x0, y0), 试写出g(x0, y0)的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在 是说,要在D的边界线 上找出使(1)中 的g(x, y)达到最大值的点. 试确定攀岩起点的位置. 也就 面, 其底部所占的区域为 沿平面上什么方向的方向导数最大? 山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点. * 解 (1)由梯度的几何意义知, 方向的 h(x, y)在点M(x0 , y0) 处沿梯度 方向导数的最大值为该梯度的模, 所以 (2) 令 由题意,只需求f (x, y)在约束条件 下的最大值点. 令 方向导数最大, * 则 (1) (2) (3) (1) + (2): 从而得 由(1)得 再由(3)得 由(3)得 于是得到4个可能的极大值点 可作为攀登的起点. 有一宽为24cm的长方形铁板, 把它折起来做成 解 则断面面积 24 x 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为? , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 设折起来的边长为x cm, 令 得唯一驻点 得唯一驻点 由题意知,最大值在定义域D内达到, 而在域D内只有 唯一驻点, 故此点即为所求. * 作业 习题8.8 P365 2.(1) 5. 6. 10. 13. 20. * * * * * * * * * * * * * f (1,－1)是极值. 将上方程组再分别对x, y求偏导数, 在驻点 代入方程组，得 * 为极小值; 为极大值. f (1,－1)是极值. * 求由方程 解 法2 初等配方法 方程可变形为 根号中的极大值为4, 为极值. 为极大值, 为极小值. * 最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 求二元连续函数在有界闭域D内的最值的一般步骤: ①求函数在D内的所有嫌疑点 ②求函数在D的边界上的嫌疑点--- ③将所有嫌疑点的函数值相互比较, 二、 多元函数的最值 若f(x,y)在有界闭域D上连续，则在D上必有最值. 边界上的最值点. 当最值在区域内部取到,且只有一个极值点P 时, (大) (大) 为极小值 为最小值 特别的 * 解 (1)求函数在D内的驻点（嫌疑点） 由于 所以函数在D内无极值点. (2) 求函数在 D边界上的最值点 (最值只能在边界上) 围成的三角形闭域D上的 最大(小)值. 例 D * ①在边界线 ②在边界线 最小, 又在端点(1,0)处, 最大. 有驻点 函数值 有 单调上升. D * ③在边界线 所以, 最值在端点处. 函数单调下降, (3)比较 D 为最小值; 为最大值. * 三、多元函数的条件极值 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 ．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果． 问题的实质：求 在条件 下的极大值点． * 对自变量有约束条件的极值. 条件极值 求条件极值的方法 ① 代入法. ② 拉格朗日(Lagrange)乘数法. * 解 例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 设长方体的长、宽、高分别为 由题意 长方体的体积为 (1) 代入(1)式 (目标函数) (约束条件) * 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 且长方