有限元与数值方法-讲稿6-7弹性力学有限元的一般原理与格式..ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 单元缺陷-剪切自锁 双线性矩形单元(Q4)不能表示纯弯曲 纯弯曲中，材料的真实应变应为 而Q4单元被弯曲时，顶边和底边仍是直的，单元位移和应变为 即使在纯弯载荷下，单元也产生附加的剪切变形。因此单元对于弯曲变形来说过刚 * 单元缺陷-剪切自锁 即Q4单元在模拟了弯曲变形的同时自动产生了所谓“寄生剪应变”，从而吸收了一定的应变能 寄生剪切将产生“剪切自锁”，特别是当单元纵横比较大时明显。 不建议采用细长的Q4单元 如果 ， 则产生的转角比为 1 2 3 4 x y M1 M2 a b 若纵横比增加，则单元弯曲变形将趋于零 * 改进的矩形单元 引入内部自由度和附加的二次位移模式，构造非协调元 Q4 矩形单元有剪切自锁现象（源于缺少位移二次项，不能准确模拟纯弯曲） Q6 单元中对 Q4 矩形单元进行改进、消除剪切自锁现象的基本思想： * 改进的双线性单元（Q6单元） 补救“剪切自锁”的一个办法是在矩形单元中引入常曲率变形模式，构造Q6单元 其中， 以上位移模式可精确模拟纯弯曲 四个内部自由度（不通过节点与其他单元相联系） 这种位移模式是非协调的——非协调单元 x y 2a 2b * 非协调元 Ｑ6 非协调元，有六个形函数，但是只有四个节点；二个形函数相当在边界的泡泡函数，相应的四个未知数相应于内部自由度，和其它相邻单元无关。相邻单元因此变形不协调，只在单元顶点联结。结构变形时，可以在单元间出现裂缝或叠合 这样的单元比 Q4 柔顺，因此虽然不协调，但给出的结果更好； 其结果从上面趋于真解；（协调元从下面趋于真解） 在特定的载荷下，单元边界间将有缝隙或重叠 * 非协调元 Ｑ6非协调元，有六个形函数，但是只有四个节点；二个形函数相当在边界的泡泡函数，相应的四个未知数相应于内部自由度，和其它相邻单元无关。相邻单元因此变形不协调，只在单元顶点联结。结构变形时，可以在单元间出现裂缝或迭合 x y 2a 2b 这样的单元比Ｑ４柔顺，因此虽然不协调，但给出的结果更好； 其结果从上面趋于真解；（协调元从下面趋于真解） * * 作业题 简答题 加权残数法的基本思想是什么？简述加权残数法与有限元方法的联系; 编写一个用三角形单元分析弹性力学平面问题的程序；具体要求： （1） 写成位移插值函数、应变矩阵、应力矩阵、单元刚度矩阵的主要相关公式，以及单元刚度矩阵的具体形式； （2） 写出单元刚度矩阵各元素与整体刚度矩阵的对应关系，并简要说明刚度矩阵的形成过程； （3） 写出平面问题有限元分析程序的整体框图； （4） 编写程序，并调试； （5） 给出一个（可自选）简单例题的计算结果；写出分析报告。 （6） * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 有限元法的基本思想 平面应力问题的有限元基本思想和瑞雷－里兹法 将结构剖分为单元，假定单元之间只在节点上连结起来 将每个单元的节点力Ｆ和节点位移Ｕ联系起来，Ｆ＝ＫＵ，其中，Ｕ称为单元刚度矩阵； 由每个节点的平衡，可得到节点位移满足的线性代数方程组，求解该方程组得到节点位移。 有了节点位移可以确定单元的应变、应力 如何将结构剖分为单元？如何得到单元刚度矩阵？如何将单元刚度矩阵拼装为结构刚度矩阵？如何将作用在结构上的力转化为节点力？如何求解得到的线性代数方程组？如何在有了节点位移后求得应变、应力？ 2.1.2 弹性力学问题的有限元法的基本过程 * (1)结构离散：网格剖分(选用单元类型)； (2)结构分析：形成单元刚度矩阵、节点力向量； (3)集成总体刚度阵和节点力； (4)引入位移边界条件，修改总刚和节点力； (5)求解方程，得到节点位移； (6)计算单元应力，应变； (7)后处理，输出结果。 有限元分析过程 * 位移法有限元分析的步骤 一、结构的离散化 离散化---- 将连续体结构划分成有限个单元，并在单元的指定点设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性。为了使该离散的计算模型有效地逼近实际的连续体，就需要合理选择单元的形状和网格，确定单元和节点的数目、节点的位置和自由度等问题。 1、单元的几何形状 选择单元的形状既要考虑单元的精度和计算量，又要考虑对边界形状的适应性。 * 位移法有限元分析的步骤 2、单元的划分和节点的布置 通常集中载荷的作用点、分布载荷集度的突变点、支承点、边界的转折点等都应取作节点 厚度或者材料突变处应布置节点 单元的大小要根据精度要求和计算机容量等因素综合考虑。对应力变化急剧的区域单元网格应划分得细些，应力变化平缓的区域单元可划