考研数学二模拟363.doc

2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二) 全真模拟试题(五) 模拟试题五 一、选择题：在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． (1) 设，若f(x)在x=0处可导且导数不为零，则k为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (2) 曲线的渐近线条数为( ) (A) 3条 (B) 2条 (C) 1条 (D) 0条 (3) 设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数，，则φ(x)是( ) (A) 单调增加的奇函数 (B) 单调减少的奇函数 (C) 单调增加的偶函数 (D) 单调减少的偶函数 (4) 设函数f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( ) (A) 若f(x)只有一个零点，则f(x)必至少有两个零点 (B) 若f(x)至少有一个零点，则f(x)必至少有两个零点 (C) 若f(x)没有零点，则f(x)至少有一个零点 (D) 若f(x)没有零点，则f(x)至多有一个零点 (5) 设f(x，y)在(0，0)处连续，，则( ) (A) f(x，y)在(0，0)处不可偏导 (B) f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微 (C) fx(0，0)=fy(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)处可微分 (D) fx(0，0)=fy(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)处可微分 (6) 设函数y=f(x)的增量函数，且f(0)=π，则f(-1)为( ) (7) 设A为m×n矩阵，且r(A)=m ＜n，则下列结论正确的是( ) (A) A的任意m阶子式都不等于零 (B) A的任意m个列向量线性无关 (C) 方程组AX=b一定有无数个解 (D) 矩阵A经过初等行变换化为 (8) 设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 二、填空题 (9) (10) 曲线在t=0对应点处的法线方程为______． (11) 设，f有一阶连续的偏导数，则=______． (12) (13) 微分方程y-3y+2y=2ex的特解为______． (14) 已知三阶方阵A，B满足关系式E+B=AB，A的三个特征值分别为3，-3，0，则|B-1+2E|=______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (15) 当x＞-1时，f(x)可导，f(0)=1，且满足 (Ⅰ) 求f(x)； (Ⅱ) 证明：当x≥0时有不等式e-x≤f(x)≤1． (16) 设f(x)二阶可导，且f(x)≠0． (Ⅰ) 证明：对任意的X≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf(xθ(x))； (Ⅱ) 求 (17) 设，且g(x)的一个原函数为ln(x+1)，求 (18) 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f(0)=f(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得 (19) 设f(x)为[-a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令． (Ⅰ) 证明：F(x)单调增加． (Ⅱ) 当x取何值时，F()取最小值? (Ⅲ) 当F(x)的最小值为f(a)-a2-1时，求函数f(x)． (20) 计算,其中D：x2+y2≤a2． (21) 现有两个分别盛有10L浓度为15g/L的盐水，现同时以2L/min的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以2L/min的速度注入第二只桶中，然后以2L/min的速度从第二只桶中排出，问5min后第二只桶中含盐多少克? (22) 就a，b的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解． (23) 设α=(1，1，-1)T是的一个特征值． (Ⅰ) 确定参数a，b及特征向量所对应的特征值； (Ⅱ) 问A是否可以对角化?说明理由． 模拟试题五答案及解析 一、选择题 (1) C [详解] 因为f(x)在x=0处可导，所以k-2=3，即k=5，选(C)． (2) A [详解] ，所以曲线的斜渐近线为y=x+2，故曲线有3条渐近线，选(A)． (3) B [详解] 所以φ(x)为单调减少的奇函数，选(B)． (4) D [详解] 若f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，f(x)至少有一个零点，故若f(x)没有零点，则f(x)至多一个零点，选(D)． (5) D [详解] 由得f(0，0)=1，因为，所以，其中α为当(x，y)→(0，0)时的无穷小，于是，故f(x，y)在(0，0)处可微，且fx(0，0)=fy(0，0)=0，选(D)． (6) C [详解] 则，因为f(0)=π，所以C=x，于是f(x)=πearctanx， 故，选(C)． (7) C [详解] 因为A与都是m行，所以，所以方程组AX=b一定有无数个解，选(C)． (8) C [详解] 令