2025年考研数学二分类模拟230.pdf

臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥

考研数学二分类模拟230

解答题

1.证明：当x＞0时，有

正确答案：

证明：已知cosx≤1，则

证毕．

注本题完全可以通过求导的方法证明该不等式，上述证明反复应用了积

分的保不等式性(保序性)．

[考点]一元函数微积分

2.求．

正确答案：

勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备

65

解：设，则x=t-1，dx=6tdt．代入得

其中．

注本题最后并没有还原成关于x的函数，否则，原函数的形式过于庞

大，严重影响积分的颜值，读者不妨自己还原．

[考点]不定积分、定积分、反常积分

3.证明：函数f(x)在点x处可微的充分必要条件是，存在x的某个邻域U

00

以及定义在U上且在点x处连续的函数g(x)，使f(x)=f(x)+g(x)(x-x)(x∈

000

U)．

正确答案：

证明：()设f(x)在点x处可导，令

0

则

即g(x)在x=x处连续．

0

()如果g(x)满足条件且在x=x处连续，则

0

因此f(x)在x=x处可导．

0

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。——《孟子》

4.讨论的敛散性．

正确答案：

解：将积分分成

1-pp-1-x+

对于积分由于x·(xe)→1(当x→0时)，故当p＞0时

(从而1-p＜1)积分收敛．

对于积分．由于

故对于一切p值，积分收敛．

于是，当p＞0时，积分收敛．

[考点]不定积分、定积分、反常积分

5.设函数f(x)在点x的某邻域U(x)内连续，在U°(x)内可导，且极限

000

存在，证明：f(x)在点x可导，且．

0

正确答案：

证明：f(x)在点x可导左右导数