角平分线的判定剖析.ppt

3、已知PA=PB， ∠1+ ∠2=1800， 求证：OP平分∠AOB 随堂练习3 已知：如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点P。 求证：点P在∠BAC的平分线上。 3、 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等． 4、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． * * O D E P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线的性质： 不必再证全等 如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？ OB PE ^ PD ^ OA 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 已知：如图， ， ，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点P在 的角平分线上。 B A D O P E 到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点P在 的角平分线上。 证明： \ 作射线OP \ 点P在 角的平分线上 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中， （ HL） \ （全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ） \ ≌ 角平分线的判定 B A D O P E ∵ 角平分线的判定的应用书写格式： OP 是 的平分线 PD= PE \ （到一个角的 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） ∵ D E O P A B 角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 B A D O P E C \ PD = PE OP 是 的平分线 ∵ ∵ \ OP 是 的平分线 PD = PE 用途：证线段相等 用途：判定一条射线是角平分线 练一练 填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (___________________________________________) (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__________ (_ ______________________________________________) A C D E B 1 2 ∠1= ∠2 DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。 A B C E F D 已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC 。 A B C F E D 课堂练习 拓展与延伸 3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上. A A A A A A A D N E B F M C A A O B P 1 2 E F A B C P E D F M N 例题2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在∠A的平分线上。 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知） ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边 AB、BC、CA的距离相等 C A B P D E 练习： 8、如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油