12.3.2-角平分线的判定(用).ppt

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 　　如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500m，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1 ∶20000） 例1 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 随堂练习 1.在三角形的内部，到三角形三边的距离相等的点是 . 4. 在∠BAC的平分线上任取一点D，在AB、AC上各取一点E、F，若DE=DF，且AEAF， 求证：∠AED+∠AFD=180° * * 复习回顾 1.角平线的性质是什么？ 角平分线上的点到角两边的距离相等 2.角平分线的性质用数学语言怎样叙述？ E D O A B P C ∵ OC平分∠AOB, PD⊥OA,PE⊥OB . ∴ PD=PE. 已知：如图,PD⊥OA、PE⊥OB， 垂足为D、E，且PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． E D O A B P C 1）猜想：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 2）证明 证明: ∵PD⊥OA、PE⊥OB ∴∠ODC= ∠OEC=90° 在△OCD和△OCE中 OC=OC OD=OE ∴△OCD≌△OCE (HL) ∴∠DOC= ∠EOC ∴点P在∠AOB的平分线上 到角的两边的距离相等的点在角的平分上. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE, 用数学符号表示为： E D O A B P C ∴ 点P在∠AOB的平分线上． 角的内部 思考 S 500m P A B O 角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 C P A B M N F E D 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵ BM为△ABC的角平分线 ∴PD=PE 同理,PE=PF ∴PD＝PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 想一想：点P在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 结论： 三角形的三条角平分线交于一点， 且这点到三边的距离相等。 G H M 结论：三角形两个外角的平分线也交于一点，且这点到三边所在的直线的距离相等。 三条角平分线的交点 2. 有三条公路相交于A，B，C三点，要在这三条公路旁建一个加油站，且到三条公路的距离相等，符合要求的点共有（ ）个。 c a b A B C 3. 在Rt△ABC，∠C=90度， ∠BAC的角平分线AD交BC于点D， CD=2，则点D到AB的距离 . B A C D 4 2 E 5. 如图，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E， 求证：点D在∠BAC的平分线上. F B C D E A ? ? ∟ ∟ 1 2 3 4 证明： ∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E（已知） ∴∠1=∠2=90°（垂直的定义） 在△CDF和△BDE中 ∠1=∠2(已证） ∠3=∠4(对顶角相等） BD=CD(已知) ∴△CDF≌△BDE（AAS) { ∴DF=DE （全等三角形的对应边相等） ∴点D在∠BAC的平分线上 （角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上) 1.角平分线的判定: 到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上. 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明 角相等、线段相等的新途径. 小 结 2.（1） 三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等. （2）三角形两个外角的平分线也交于一点，且这点 到三边所在的直线的距离相等. 作业：课本P51 3题 P52 6题 E A F C D B 1 2 3