ARCH模型 计量经济学 EVIEWS建模课件.pptx

自回归条件异方差建模;一、自回归条件异方差模型;案例－－对异方差观察; 人们常用随机游走过程描述的金融市场的复杂现象，如某些非平稳的现象经差分后变得平稳了，但是，平稳的新序列的方差是明显不同的，这与白噪声的基本要求是有很大差距。见下图所示：;异方差现象的三个特征如下： ⑴平稳过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。但其在一定范围内变化，并不趋于无穷。同时方差的变化是连续的，没有突然的跳动。 ⑵按时间观察，表现出“波动集群”(volatility clustering)特征，或称之为“聚类性”。即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。;⑶从取值的分布看，表现的则是“高峰厚尾” (leptokurtosis and fat-tail)的特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。极端值较多的高峰厚尾的分布图例如下：;以深圳综合指数收益分布数据为例，如下图所示：;⒉ ARCH基本模型; 平稳随机变量Yt可以表示为AR(p) 形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后过程来描述，则常见的ARCH模型由如下两部分给出： 一是均值方程： Yt = ?0 + ?1 Yt -1 + ?2 Yt -2 + … + ?p Yt - p + εt 二是条件异方差ARCH方程： ?t2 = E(εt2) = δ0 + δ 1εt-12 + δ2εt-22 + … + δqεt-q2＋vt 或： ?t2 = E(εt2) = (δ0 ＋δ1εt-12 + δ2εt-22 + … + δqεt-q2)vt2 这里称εt 服从q阶的条件异方差过程，即εt～N(0,σt2)，且vt～N(0,λ2)，则简记为：εt ? ARCH (q)。; ⑴对于均值方程，为保证平稳性，其特征方程： 1 - α1L - α2L2 - … - αpLp = 0 的根应在单位圆之外。Yt 的条件期望是 E(Yt?Yt-1, …,Yt-p) = α0 + α1Yt-1 + α2Yt-2 + … + αpYt-p Yt 的无条件期望(T?? 时)的长期均值是： E(Yt) =α0÷(1-α1-α2-…-αp) ⑵对于ARCH方程，由于εt2 的非负性，对δi应有如下约束： ;首先：δ0 0, δj ? 0, j = 1, 2, … q 其中当全部δj = 0, j = 1, 2, …, q时，就是扰动项不存在自相关的情况，这时的条件方差?t2 = δ0。因为方差是非负的，所以要求δ0 0。 其次，?t2的平稳性，须有如下两个约束： 一是ARCH方程的特征方程： 1 - δ1 L - δ2 L2 - … - δq Lq = 0 的根都应在单位圆之外，即0 ? |δj| 1。 二是对于q个δj必须同时满足： 0 ? δ1 + δ2 + … + δq 1; 证明： 首先，对于误差求条件期望可得条件方差： ?2t = δ0+δ1E(ε2t -1) +δ2E(ε2t -2) +…+δqE(ε2t - q) +E(vt) = δ0 + δ1 ?2t-1 + δ2 ?2t-2 + … + δq ?2t-q 当T?? 时，则有： ?2 = δ0 + δ1 ? 2 + δ2 ? 2 + … + δq ? 2 其次，对于误差的无条件均值可得无条件方差： ?2 =α0÷(1-∑αj) 可见，若保证?t2是一个平稳过程，应该有约束: 0 ? (δ1 + δ2 + … + δq ) 1 又因为：Var(Yt) = Var(εt) = ?t2 所以上式可以用来预测Yt 的方差。;设ε2t+s/t为t时对条件方差σ2t+s的估计值。则有： ε2t+1/t=?2t+1=E(ε2t+1)=δ0+ δ1ε2t+δ2ε2t-1 + … + δqε2t-q+1 根据无条件方差关系有： δ0＝(1- δ1- δ2 - … - δq)σ2 以此代入前式有： ε2t+1/t ＝ (1- δ1- δ2 - … - δq)σ2 + δ1ε2t+… + δqε2t-q+1 整理有： ε2t+1/t - σ2= δ1(ε2t-σ2)+δ2(ε2t-1-σ2)+…+δq(ε2t-q+1-σ2);同理在t+1时对条件方差σ 2t+2的估计值有： ε2t+2/t+1 - σ2= δ1(ε2t+1-σ2)+δ2(ε2t-σ2)+…+δq(ε2t-q+2-σ2) 以ε2t+1/t来代