数学分析第二章.ppt

函数与极限 第三节 连续函数 二、连续函数性质与运算 三、初等函数的连续性 四、间断点及其分类 五、闭区间上连续函数的基本性质 六、小结 定义: 例如, 1. 最值性定理 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证 定义 2. 介值性定理 几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. 例8 证 由零点定理, 例9 证 由零点定理, 一致连续性 1. 函数在一点连续必须满足的三个条件; 3. 间断点的分类与判别; 2. 区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型, 跳跃型. 第二类间断点:无穷型, 振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x * * 1. 函数在某点连续的定义 一、连续的定义 2. 单侧连续 例2 解 右连续但不左连续 , 3、 区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 例3 证 1. 局部有界性 2. 局部保号性 4. 不等式性质 3. 局部保序性 6. 复合函数的连续性 5. 四则运算性质 7、反函数连续性定理 严格单调的连续函数必有同严格单调的 连续反函数 定理 证 将上两步合起来: 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 例4 解 例5 解 同理可得 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ 定理 基本初等函数在定义域内是连续的. ★ (均在其定义域内连续 ) 定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意 注意　2. 初等函数求极限的方法代入法. 例6 例7 解 解 1. 概念 1) 跳跃间断点 例4 解 2. 分类 2) 可去间断点 例5 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3) 第二类间断点 例6 解 例7 解 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ 而 函数 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: 例8 解 * *