第五章 留数 2.ppt

§5.2 留数 1 留数的定义 2 留数的计算 3 留数定理及其应用 4 无穷远点的留数及其应用 若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域 内可以展开为洛朗级数 C是此圆环域内围绕 的任一条正向简单闭曲线. 其中 1、留数的定义 若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域 内可以展开为洛朗级数 C是此圆环域内围绕 的任一条正向简单闭曲线. 1、留数的定义 上述展开式中负一次幂项的系数 称为 在 处的留数，记为 ， 1、留数的定义 若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域 内可以展开为洛朗级数 上述展开式中负一次幂项的系数 称为 在 处的留数，记为 ，即 或 C是此圆环域内围绕 的任一条正向简单闭曲线. 2、留数的计算 (1) 如果 为 的可去奇点, 则 (2) 如果 为 的本性奇点, 在某 则需将 ) ( z f 内展开为洛朗级数，求 例如： 例如： 内 在 如果 为 的一级极点, 则 准则I (3) 如果 为 的极点, 则有如下准则 证明　由于z0是 f (z)的一级极点，所以在z0的 某个去心邻域内的洛朗展开式为 故 所以 如果 为 的一级极点, 则 准则I (3) 如果 为 的极点, 则有如下准则 例如： 准则III 设 及 在 都解析. 如果 那么 为f (z) 的一级极点, 并且 证明 由条件易知z0是f (z)的一级极点. 于是 准则III 设 及 在 都解析. 如果 那么 为f (z) 的一级极点, 并且 例如： 如果 为 的 级极点, 则 准则II （1）当 m=1 时，上式即为 说明 例如： 例如： 如果 为 的 级极点, 则 准则II 说明 （2） 如果 为 的 级极点, 取正整数 则 例如： 1、留数的定义 若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域 内可以展开为洛朗级数 上述展开式中负一次幂项的系数 称为 在 处的留数，记为 ，即 或 C是此圆环域内围绕 的任一条正向简单闭曲线. 定理2.1 (留数定理) 设函数f (z)在区域 D内除 有限个孤立奇点 外处处解析, C是D内 包含所有这些奇点的一条正向简单闭曲线，则 结论 ： 解析，在 内只有有限个奇点 ， C是一条正向简单闭曲线， 在 上 则 例1、计算积分 例2、计算积分 例3、计算积分 结论 ： 解析，在 内只有有限个奇点 ， C是一条正向简单闭曲线， 在 上 则 4、函数在无穷远点的留数 定义2.2 设z=?是f (z)的孤立奇点, 即 f (z) 在 内解析, 称为f (z)在z=?处的留数，记做 若 在 内的洛朗展开式为 为圆环内绕原点的任一条 正向简单闭曲线，则积分值 则有 关于无穷远点的留数的计算，有如下准则： 证明　设 f (z)在R|z|?内的Laurent展开式为 于是 所以 定理2.2　设函数f (z)在扩充复平面内只有有限 个孤立奇点 则 f (z) 在各孤立奇点 的留数的总和等于零，即 例4、计算积分 思考： 作业：P93 习题五 5.5 (1)(2)(5) 5.6 (1)(2)(3) * * * *