数学建模课件03-1第三章 第1-8节 微分方程模型.ppt

* 所以(5-18)式可写为 —这就是我们熟知的形式 评注： 从发现万有引力定律的过程中可以看出，在正确假设的基础上运用数学演绎方法建模，对自然科学的发展能够发挥多么巨大的作用，虽然我们大多数人发明不了什么定律，但是学习前辈如何创造性地运用数学方法对于培养解决实际问题的能力是大有好处 * §7 核废料的处理问题 背景： 问题：将放射性核废料装进密封的圆桶里仍到水深91米的海底，这个方案是否可行？ 已知数据及实验结果： 1、桶的重量 W=239.456kg 2、海水的浮力为1025.94kg/ 3、圆桶的体积 V=0.208m 4、桶下沉时的阻力与速度成正比，比例系数 k=0.12 5、当桶以12.2米/秒与海底碰撞时，桶将会破裂。 * 问题的解决： 取坐标系如图 设y(t)表示桶在t时刻下沉的深度， 我们要知道在91米深速度是否大于12.2米。 当桶下沉时，有三个力作用在它上面： 桶重力 W=239.456kg 浮力 B=1025.94V=213.396kg 桶下沉时阻力 D=kv=0.12v=0.12 即合力 F=W-B-D=W-B-kv 由牛顿第二定律 F=ma 得： W-B-kv=ma * 即有 此微分方程可看作 类型. 由于v= ,则 代入上方程得 解得 * 至此,数学问题似乎有了结果,得到了速度与时间的表达式.但实际问题远没有解决.因为圆桶到达海底所需的时间 t并不知道,因而也就无法算出速度.这样,上述的表达式就没有实际意义。 有人会说,虽然无法算出精确值但我们可以估计当t 时，v(t) 。只要 不超过12.2米/秒，方案就可行； 但可惜 =217.2米/秒，它太大了，问题仍没有解决。 而方程(7-1)又可看作 类型， 方程(1)也可化为一个一阶可分离变量的微分方程 * 解之得 由初始条件得 所以 当 y=91米时，如何求速度v ? * 下面用牛顿切线法求出速度v的近似值。 牛顿法介绍： 若已知方程g(v)=0,求v的近似值的迭代格式为： 在这里，(7-3)式可写成 其中 a=9.8m / 。 * 于是 迭代格式为 * 只要选择一个好的初始值 ，就能很快算出结果。 求 的粗略近似值： 从(7-2)中令k=0（即下沉时不记阻力）得 由初始条件得C=0 , 以 =13.93代入(7-4)得 * 因此这种处理核废料的方案是不可行的. 这一模型科学地论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方案是错误的,从而改变了美国政府过去的错误的做法,现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里,并在一些废弃的煤矿中修建置核废料的深井.这一模型为全世界其他国家处理核废料提供了经验教训,我国政府决定在甘肃广西等地修建三个深井放置核废料,防止放射性污染. * §8 传染病传播的数学模型 模型一：最简单的情况 假设： (1)每个病人在单位时间内传染的人数是常数 ； (2)一人得病后，经久不愈，人在传染期不会死亡。 记 表示t时刻病人数， 表示每个病人单位时间内传染人数， ，即最初有 个传染病人。 则在t到t＋ t时间内增加的病人数为 * 于是得微分方程 其解为 结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。 这个结果与传染病传播初期比较吻合。 但由(8-1)的解可以推出，当t→+∞时， →+∞，这显然是不符合实际情况的，问题在于两条假设均不合理。 * 模型二： 用 表示t时刻传染病人数和未被传染的人数， ； 假设： (1)每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即 (2)一人得病后经久不愈，人在传染期不会死亡； (3)总人数为n，即 ； 由以上假设得微分方程 * 用分离变量法得其解为 其图形如图 模型(8-2)可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。 由(8-3)式可得 * 其图形如图 医学上称 为