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解析几何大题训练6 51．如图，已知OFQ的面积为2，且·=m， （1）设m4，求向量与的夹角θ的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，||=c， m=（－1）c2，当||取最小值时，求此双曲线的方程． 52. 如图，已知、为两定点，且||=2，为动点满足|| (，、为常数)，为中点，在边上且·=0. (1)以所在直线轴，中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求点的轨迹方程； (2)若、是点的轨迹上任意两个不同的点，且线段的中垂线与直线相交，交点为； ①证明：存在最小的正数，使得，并求的值； ②若，求∠的取值范围. 53.椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若，求直线的方程； （3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. (14分) 54. 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。 55已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称． （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围； （Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程． 56. 已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=0，=－， （1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C； （2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值. 57已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）． （I） 求点（x，y）的轨迹C的方程； （II） 若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有 |AD|=|BD|，试求m的取值范围． 58. 已知△OFQ的面积为 （1）设正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），， 当取得最小值时，求此双曲线的方程. （3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动 点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 59.直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D． （1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程； （）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由． 的准线与轴交于点，过作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(X0,0) ⑴求X0的取值范围。 ⑵△ABD能否是正三角形？若能求出X0的值，若不能，说明理由。 x y D O A B C P