24．2切线的判定和性质（校优质课）.ppt

例2. 已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆O，求证：⊙O与AC相切 * * 1.下图中的直线l和⊙O是什么位置关系？ 相交 相离 相切 （两个交点） （一个交点） （无交点） d = r 相切 d 2.你认为：圆的切线的判定方法有几种？ (1)，利用切线的定义作出判断 ． (2)，利用d与r作出判断 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线； 和圆心的距离d=半径r的直线是圆的切线 在⊙O中,经过半径OA的外端 点A作直线l⊥OA,则圆心O到 直线l的距离是多少?______, 直线l和⊙O有什么位置关系? _________. . O A d=OA 相切 l d 特征一：直线l经过半径OA的外端点A 特征二：直线l垂直于半径OA 切线的判定定理： 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 . O A l d 几何语言: ∵直线l经过半径OA的外端点A且OA⊥l ∴直线l是⊙O的切线 已知一个⊙O和圆上一点A,如何过这个点画出圆的切线?动手试一试! . O A l 作法: 1.连结OA 2.过A点作直线 l垂直于OA于A点 直线l即为所求作的切线 切线的判定定理： 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 l A O O l A O l A O l A O 判断下图直线l是否是⊙O的切线？ 并说明为什么。 证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可： ①过半径外端 ②垂直于这条半径。 新知 例1.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。 O A B C 分析： 欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上点C，若连结OC,则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥AB . O A B C 证明：如图，连结OC. ∵ OA=OB,CA=CB ∴ OC是等腰△OAB 底边BC上的中线 ∴ OC⊥AB 又AB过半径OC的外端 ∴ AB是⊙O的切线 例1.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。 一般情况下，要证明一条直线为圆的切线时,若公共点已确定往往是连结该点与圆心,得半径，只需证明直线垂直于这条半径。 要证明直线与圆相切，但公共点未确定时，往往过圆心作该直线的垂线，再证明d=r即可 D C A B O ∟ E 证明:过O作OE⊥AC,垂足为E ∵AO是∠BAC的平分线,且OD⊥AB,OE⊥AC ∴OE=OD=r ∴⊙O与AC相切 A l O 如果直线l是⊙O的切线,切点 为A,那么半径OA与直线l是不是 一定垂直呢? 垂直 . 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 证明:假设OA与直线l不垂直,过点O做OM⊥l,垂足为M,根据垂线段最短的性质,有OM＜OA,这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA,于是直线l就要与⊙O相交,而这与直线l是⊙O的切线矛盾,因此OA与直线l垂直. M ⑴、经过半径外端的直线是圆的切线。 ⑵、垂直于半径的直线是圆的切线。 ⑶、过直径的外端并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线。 ⑷、和圆只有一个公共点的直线是圆的切 线。 ⑸、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上 的高为半径的圆与底边相切。 （×） （×） （√） （√） （√） 1.是非题：判断下列命题是否正确。 2.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．求证：AT是⊙O的切线． 分析：已知AB是⊙O的直径，可知OA是半径．而公共点A是已知的，只证AT⊥AB即可． . O A T B 2.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AC=AB．求证：AT是⊙O的切线． . O A T B 证明: 　　∵ AT=AB ∴∠ABT=∠BTA=45° 　　∴∠TAB=180°-45°-45°=90° 　　∴AT⊥AB ∴AT是⊙O的切线 A l1 l2 B O 3.如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2 是⊙O的切线，A、B是切点,直线l1、l2有怎样的位置关系？证明你的结论. :∵l1、l2是⊙O的切线,AB是⊙O的直径 ∴l1⊥AB, l2⊥AB(圆的切线的性质定理) ∴l1∥l2 解: l1∥l2,理由如下: 1.切线的判定方法有： ③、切线的判定定理。 ②、直线到圆心的距离等于圆的半径。 ①、直线与圆有一个公共点。 切线的判定定理： 经过半径外端并且垂直