走进数学建模世界.doc

走进数学建模世界 华南师范大学数学科学学院06级本科生 (510631) 黄泽君 编者按：由中国教育部国际交流司与师范司，以及东芝公司共同举办的第二届“东芝杯·中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛”2009年11月15日在上海落下帷幕。经过紧张的数学模拟授课、教案评比、即席演讲三项总决赛，最终华南师范大学的黄泽君夺得冠军，南京师范大学的向坤获亚军，陕西师范大学的金涛获季军。三名获奖选手每人除了获奖励高级笔记本电脑一台之外，并获得免费赴日进行短期访学。本刊刊登获得第一名的教案,以飨读者。 【教材】人教版数学必修① 3.2函数模型及其应用【课时安排】第4课时 【教学对象】高一学生 【授课教师】华南师范大学数学科学学院 黄泽君 【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而“3.2函数模型及其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。 【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。 【教学目标】 知识与技能 （1）初步理解数学模型、数学建模两个概念； （2）掌握框图2——数学建模的过程。 过程与方法 （1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法； （2）提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。 情感态度价值观 （1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程； （2）感受数学的实用价值，增强应用意识；（3）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】框图2——数学建模的过程。 【教学难点、关键】 方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。 【教学方法】引导探究、讨论交流。【教学手段】计算机、PPT、几何画板。 【教学过程设计】 一、教学流程设计 二、教学过程设计 教学 环节 教 学 内 容 教师 活动 学生 活动 设 计 意 图 （一） 实际问题 化为 理想 化问 题 预计 时间 2 分钟 现有宽为的长方形板材，请将它设计制成一直的开口的长条形水槽，使水槽能通过的流水量最大。 初步理想化 在单位时间内，该水槽能通过的流水量取决于水流速度和它的横截面积。我们将问题理想化，假定水流速度是一定的。那么，要在单位时间内获得最大的流水量，就应该将水槽设计成横截面积最大。于是，问题化归为： 现有宽为的长方形板材，请将它设计制成一开口的长条形水槽，使水槽的横截面积最大。” 2.进一步理想化 如果将水槽的横截面设计成矩形，那么这一实际问题可以转化为理想化问题： 如下图所示，要建造一个横截面为矩形ABCD 的水槽,并且AB ,BC ,CD 的长度之和等于.问应当怎样设计水槽的深度和宽度,使水槽的横截面积最大? 教师 引导 学生 阅读 理解 问题 ， 并将 其理 想化 学生 听讲 思考 与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化这一重要的环节。 本环节意在恢复数学建模的真实面目。 （二） 将理 想化 问题 转化 为数 学问 题 预计 时间 3 分钟. 1.寻找变量以及变量之间的关系 在此问题中，水槽的深度是一个变量，宽度是另一个变量，横截面积也是一个变量。 设，.矩形的面积为. 那么，这三个变量之间的关系是. 变量由两个变量和确定.如果我们能使面积表达式只由一个变量确定，那么我们研究的问题就可以简化，这就需要寻找两个变量和之间的关系。显然, . 2.建立数学模型 将实际问题转化为一个纯数学问题： 当取何值时，函数（） 有最大值？ 教师 引导 讲解 学生 听讲 思考 展示将理想化问题转化为数学问题的数学化过程。 （三） 求解 数学 模型 解释数学结果 预计时间 2 分钟 （四） 数学建模过程 预计时间 2分钟. 因为， 所以，当时，有最大值. 此时，. 当水槽的横截面设计成矩形时，只要将深度、宽度分别设计为和时，可得到最大的横截面积，从而可获得最大的流水量。 可将上述数学建模的过程概括为下面的 框图1： 教师 引导 分析 讲解 教师 引导 讲解 学生 听讲 思考 求解 模型 学生 听讲 思考 展 示 解 模 过 程 结合这一实际问题的解决过程，概括出数学建模的基本过程，以实现由具体到抽象的升华。 （五） 最优解的探究 预计时间 7 分钟 我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深度、宽度分别设计为和时，可得到最大的横截面积， 如果将水槽的横截面分别按照下