河北省青龙满族自治县祖山兰亭中学人教版九年级数学复习 韦达定理 学案.doc

第五讲 韦达定理 【】 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应 用 构造方程 方程的求根公式 解特殊的二元二次方程组 二次三项式的因式分解 【】例1、已知 、是方程x-5x+1=0 的两个根，求下列代数式的值 （1） + （2）（ - ） （3） + （4）α+β （5）α-5α+3αβ-β 解：由韦达定 理知α+β=5，αβ=1 （1）α+β=（α+β）-2αβ=23 （2）（α-β）=（α+β）-4αβ=21 （3） + ＋　　 =　　　　　 　　　　=　　　 = （4）α+β =（α+β）-3αβ（α+β）=110 （5）α-5α+3αβ-β=3αβ-（α+β）= -2 评注：求关于两根的代数式的值，关键是将所给代数式合理地进行恒等变形，使其转化成α+β，αβ表示的形式，主要运用配方法，通分，因式分解等方法。 例2：已知方程2x-kx+4=0的一个根是1+ ，求另一根及k的值。 解：设方程的另一根为x,由韦达定理知 　　解得 ∴方程的另一根为 -1，k的值为4。 评注：本例主要熟悉并掌握运用根的定义及韦达定理求待定系数和方程的根。 例3：已知关于x的方程x+2(m-2)x+m+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根积大21，求m的值。 解：设x+2(m-2)x+m+4=0的两根值为x1, x2则x1+x2= -2(m-2), x1 x2=m+4 由题意得：x12+ x22= x1 x2+21 (x1+ x2) -3 x1x2-21=0 4(m-2) -3(m+4)-21=0 m　=17 , m　= -1 把 m1=17 代入原方程得x+30x+293=0, Δ＜0 ∴方程无实数根， ∴ m1=17 不合题意，舍去 把 m2= -1代入原方程得x-6x+5=0 , Δ＞0 ∴m= -1 评注：应用韦达定理求一元二次方程中待定系数是一种常见的方法，但应特别注意一元二次方程是否有根的检验，同时还应注意二次项系数及本身隐含的取值范围。 例4：在实数范围内分解因式。 （1）x-x+1 (2)-3y+y+1 (3)4x+8xy-y 解：（1）令x-x+1=0，解方程得x= 　　 ∴x-x+1 =(x- )(x- ) (2)令-3y+y+1=0，解方程得y= ∴-3y+y+1=-3(y- )(y- ) (3)把4x+8xy-y=0看作关于x为未知数的方程。 令4x+8xy-y=0解方程得x= y , ∴4x+8xy-y=4(x- y ) (x- y) =(2x+2y- y)(2x+2y+ y) 评注：当二次三项式不能公式进行分解时，往往令二次三项式等于0转化为一元二次方程，令ax+bx+c=0 两根为x１,x２,则ax+bx+c=a(x-x１)(x-x２),注意分解时二次项系数不要漏掉，当二次三项式含有两个字母时把其中一个字母看作未知数，另一个字母看作常数来解。 【】例：在三角形ABC中，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且C=5 ，若关于x的方程 （5 +b) x2+2ax+(5 -b)=0有两个相等的实数根，又方程2x-(10SinA)x+5SinA=0的两个实数根的平方和为6，求ΔABC的面积。 解：∵方程（5 　+b)x+2ax+(5 -b)=0有两个相等的实数根 ∴Δ=4a-(5 +b)(5 　-b)=0 即a+b=75 ∵c=5 ∴a+b=c ∴ΔABC为 直角三角形，用∠C=90 设x1,x2是2x-(10SinA)x+5SinA=0的两个实数根，则x1+ x2=5SinA ，x1 x2= SinA ∵x1+ x2=6 ∴(5SinA ) -SinA=6 ∴SinA= 或SinA= - (舍去） 在RtΔABC中，C=5 , a=c， SinA=3 b= =