河北省青龙满族自治县祖山兰亭中学人教版九年级数学复习 四边形 学案.doc

第十讲 四边形 学习目标 1、掌握四边形和多边形内角和定理，外角和定理。 2、熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法及它们的性质。 3、了解梯形的概念及梯形中的常用辅助线添法。 4、掌握梯形中位线的性质及三角形中位线的性质。 知识框图 直角梯形 梯形 等腰梯形 四边形 　　　　　 矩形 平行四边形 正方形 菱形 【】全等三角形 （2）通过计算来证几何线段相等 A D G 证法 一：延长AD交PE于点G ∵∠BDC=∠PDG=450 ∴四边形DGPF为正方形 ∴PF=GP 从而GA=EP PG=GD=PF B C E ∴RtΔPAG≌RtΔFEP ∴AP=EF 证法二：设BC=a ,CE=b 则CF=a+b PG=b ∵EF２=AG２+CE２=(a+b) ２+b２ AP２=AG２+PG２=(a+b) ２+b２ ∴AP=EF 评注：在证几何线段相等时，当然经常想到用几何的角度去考虑问题，但用代数法来解几何题也是一种非常重要的方法。 例2：如图，梯形ABCD中，CD∥AB，M、N分别是DC和AB的中点，且∠A+∠B= 900。 求证MN= （AB-CD） D M C 证明：作CE∥AD交AB于点E，则AE=DC A E N F B ∠A=∠CEB ∴∠CEB+∠B=900 作CF∥MN交AB于F ∵BE=AB-CD BF=BN-NF= （AB-DC） ∴F是RtΔBEC的斜边BE的中点 ∴CF= BE= （AB-DC） 即：MN= （AB-DC） 评注：作CF∥MN，既平移了MN ，又使BN与NF共线，也就是使BF= （AB-CD），从而使原题转化为证明CF=BF ，作CE∥AD，可以使∠A+∠B=90 集中到ΔBEC中，这种把梯形分割成平行四边形和三角形或分割成已知条件相联系的其他图形的方法，我们应把它掌握起来。 例3：求证：若四边形的两条对角线互相垂直，则对边中点线线必相等。 分析：此题为命题求证。首先要根据题意画出好图形写出已知求证。如何把多个中点条件结合起来，此题可把它们放在同一三角形中，运用中位线定理解题。　　　　A 已知：AC⊥BC，E、F、G、K分别是AB、BC、CD、DA的中点　　　E K 求证：EG=FK　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　B　　 　D 证明：连结KE、EF、FG、GK　　　　　　　　　　　　　　　　 F 　　G 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C 　 ∵K、E分别为AD、AB的中点 ∴KE∥BD 同理EF∥AC ∵AC⊥BD 　 ∴KE⊥AC　∴KE⊥EF 同理EF⊥FG，FG⊥GK 　∴四边形EFGK是矩形 ∴EG=FK 【】例4：如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB、BC的中点，DE、AF交于点G ，求证：GC=DC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　M　　Ｄ 证法 一：连EC,∵E、F为AB、BC的中点 N ∴AE=BF= AD 　　　　　　　　　　　　　　　Ｅ　　Ｇ