2008年10月线性代数(经管类)试题及答案.doc

全国2008年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 课程代码：04184 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A为3阶方阵，且，则（　A　　） A．-9 B．-3 C．-1 D．9 ，，． 2．设A、B为n阶方阵，满足，则必有（　D　　） A． B． C． D． 3．已知矩阵A=，B=，则（　A　　） A． B． C． D． ==． 4．设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（　D　　） A． B． C． D． 5．设向量，，下列命题中正确的是（　B　　） A．若线性相关，则必有线性相关 B．若线性无关，则必有线性无关 C．若线性相关，则必有线性无关 D．若线性无关，则必有线性相关 6．已知是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（　A　　） A． B． C． D． ，． 7．设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3（n3），是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（　D　　） A． B． C． D． 其中只有线性无关． 8．已知矩阵A与对角矩阵D=相似，则（　C　　） A．A B．D C．E D． 存在，使，，． 9．设矩阵A=，则A的特征值为（　D　　） A．1，1，0 B．-1，1，1 C．1，1，1 D．1，-1，-1 ． 10．设A为n（）阶矩阵，且，则必有（　C　　） A．A的行列式等于1 B．A的逆矩阵等于E C．A的秩等于n D．A的特征值均为1 ，，A的秩等于n． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式，则数a =__3__． ，． 12．设方程组有非零解，则数k = __4__． ，． 13．设矩阵A=，B=，则． =． 14．已知向量组的秩为2，则数t=__3__． ，秩为2，则． 15．设向量，则的长度为__5/2__． 16．设向量组，，与向量组等价，则向量组的秩为__2__． ，秩为2． 17．已知3阶矩阵A的3个特征值为，则__36__． ． 18．设3阶实对称矩阵A的特征值为，则r(A)= __2__． A相似于，r(A)=2． 19．矩阵A=对应的二次型f =． 20．设矩阵A=，则二次型的规范形是． ，其中，． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．计算行列式D=的值． 解： ． 22．已知A=，B=，C=，矩阵X满足AXB=C，求解X． 解： ，； ，． = ===． 23．求向量在基，，下的坐标，并将用此基线性表示． 解：设，即，得 ， ， ，，． 在基下的坐标是，． 24．设向量组线性无关，令，，，试确定向量组的线性相关性． 解：设，即 ， ， 由线性无关，得， ，有非零解，线性相关． 25．已知线性方程组， （1）讨论为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解． （2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）． 解： ． （1）时无解，且时惟一解，时有无穷多个解． （2）时，，，通解为 ． 26．已知矩阵A=，求正交矩阵P和对角矩阵，使． 解： ，特征值，． 对于，解齐次线性方程组： ，，基础解系为，，正交化：令，，单位化：令，； 对于，解齐次线性方程组： ，，基础解系为，单位化：令． 令，，则P是正交矩阵，使． 四、证明题（本题6分） 27．设为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是其导出组Ax=0的一个基础解系．证明线性无关． 证：设，则 ， ， ， ， 由，得 ---------------------------------（1） 从而 ， 由线性无关，得 --------------（2） 由（1）（2）可知线性无关．