射影变换课件.ppt

* 第二章 射影变换 本章地位 平面射影几何的核心内容之一 本章内容 在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究. § 2.1 交比 一、点列中四点的交比 1、定义 交比 — 最根本的射影不变量 定义2.1. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠ P2，其齐次坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比. 定义为 (2.1) 称P1, P2为基点对， P3, P4为分点对. 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则 (2.2) 证明定理2.1. 以P1, P2,为基点，参数表示P3, P4. 设 a+λ1b=a, a+λ2b=b. 从中解出a, b, 得 于是， P1, P2, P3, P4的坐标可表示为 即 由交比的定义，有 注：定理2.1可以作为交比的一般定义. (2.2) § 2.1 交比 一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 (1). 交比的初等几何意义 如果限于欧氏平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即 (2.3) § 2.1 交比 例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点. 证明 (1) (12,34)(12,45)(12,53)=1; (2) (12,34)(12,56)=(12,36)(12,54). 一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 (1). 交比的初等几何意义 (2). 交比的组合性质 定理2.2 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下： 推论 由定理2.2，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值： 此即P.45, 式(2.4). 不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！ § 2.1 交比 一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 定理2.3 共线四点的交比值出现0, 1, ∞三者之一?这四点中有某二点相同. 证明 可根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4 = P1进行验证即可. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, ∞. 4、调和比 定义 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则称 推论1 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则此四点互异. 推论2 相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比?这四点 的6个交比值只有3个： § 2.1 交比 点组P1,P2,P3,P4为调和点组(列) 点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离 点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭 点P4为P1,P2,P3的第四调和点 一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 调和比是最重要的交比！ 对于(P1P2,P3P4 )= –1, 利用初等几何意义，我们有 此时, 若 则可合理地认为 于是 这表示P3为P1P2的中点，从而有 推论3 设P1, P2, P为共线的通常点. P∞为此直线上的无穷远点.则P为P1P2的中点 注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系 § 2.1 交比 一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 § 2.1 交比 例2. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1. 由题设 已知四点相异 一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 例3 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 i=1,2. 对于i=1, 利用P.17例1.3, 有 同理, 对于i=2, 可求得 于是， § 2.1 交比 此步不可省！若不共线则交比无定义！ 一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标 定理2.4 设 并已知 和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定. 例4 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1